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이차형식 📂선형대수

이차형식

정의

VV를 nn차원 벡터공간이라 하자. 주어진 상수 aij∈R(or C)a_{ij} \in \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})에 대해서, 다음과 같은 2차 동차함수 A:V→R(or C)A : V \to \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})를 이차형식quadratic form이라 한다.

A(x):=∑i,j=1naijxixj,(aij=aji) A(\mathbf{x}) := \sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j},\qquad (a_{ij} = a_{ji})

이때 x=[x1⋯xn]T\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}이다. i≠ji \ne j에 대한 aijxixja_{ij}x_{i}x_{j}를 혼합항cross product terms이라 한다.

설명

정의에 따라 A(λx)=λ2A(x)A(\lambda \mathbf{x}) = \lambda^{2} A(\mathbf{x})가 성립한다.

행렬 꼴

AA를 n×nn\times n 대칭행렬 A=[aij]A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}라고 하자. 행렬 AA에 대한 이차 형식을, Quadratic의 앞글자를 따서, QA(x)Q_{A}(\mathbf{x})로 표기하고 AA에 연관된 이차 형식quadratic form associated with A이라 부른다.

QA(x)=xTAx=[x1⋯xn][a11⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann][x1⋮xn]=∑i=1n∑j=1naijxixj Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots &x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\sum \limits _{i=1} ^{n}\sum \limits _{j=1} ^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}

예로 R2\mathbb{R}^{2}상의 이차 형식은 다음과 같다.

a11 x12+a22 x22+a12 x1 x2 +a21 x2 x1 = a11 x12+a22 x22+2a12 x1 x2  \begin{align*} & a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } + a_{21}^{\ }x_{2}^{\ }x_{1}^{\ } \\ =&\ a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + 2a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } \end{align*}

R3\mathbb{R}^{3}상의 이차 형식은 다음과 같다.

a11 x12+a22 x22+a33 x32+2a12 x1 x2 +2a13 x1 x3 +2a23 x2 x3  a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + a_{33}^{\ }x_{3}^{2} + 2a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } + 2a_{13}^{\ }x_{1}^{\ }x_{3}^{\ } + 2a_{23}^{\ }x_{2}^{\ }x_{3}^{\ }

중복을 피하기 위해 위와 같이 혼합항을 결합해서 적는 것이 일반적이다. 이차 형식은 행렬 내적의 성질에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. 실수, 복소수에 대해서 각각 다음과 같다.

QA(x)=xTAx=x⋅Ax=Ax⋅x=<Ax,x>=<x,Ax>QA(x)=x∗Ax=x⋅Ax=Ax⋅x=<Ax,x>=<x,Ax> \begin{align*} Q_{A}(\mathbf{x}) &= \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \left< A\mathbf{x}, \mathbf{x}\right> = \left< \mathbf{x}, A \mathbf{x} \right> \\ Q_{A}(\mathbf{x}) &= \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \left< A\mathbf{x}, \mathbf{x}\right> = \left< \mathbf{x}, A \mathbf{x} \right> \end{align*}

AA가 대각행렬일 경우에는 aij=0(i≠j)a_{ij}=0 (i \ne j)이므로 이차 형식 QA(x)Q_{A}(\mathbf{x})는 혼합항을 가지지 않는다.

QA(x)=xTAx=[x1⋯xn][a110⋯00a22⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯ann][x1⋮xn]=∑i=1naiixi2 Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots &x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\sum \limits _{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2}

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