리만곡률텐서의 대칭성 📂기하학

리만곡률텐서의 대칭성

정의¹

리만 곡률 텐서 $R$에 대해서 $R: \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$을 다음과 같이 정의하자.

$$ R(X, Y, Z, W) := g(R(X, Y)Z, W) = \left\langle R(X, Y)Z, W \right\rangle $$

이때 $\frak{X}(M)$은 $M$ 위에서 정의된 모든 벡터필드들의 집합, $\mathcal{D}(M)$는 $M$ 위에서 정의된 미분가능한 함수들의 집합, $g$는 리만 메트릭이다.

설명

표기법이 중복되어 사용되었음에 주의하자. 이렇게 쓰는 이유는 두 정의가 사실상 같은 것이기 때문이다.

$R$은 아래와 같은 대칭성을 갖는데, 이는 레비-치비타 접속의 대칭성과 양립가능성으로부터 오는 것이다.

성질

$$ \begin{align} R(X, Y, Z, W) + R(Y, Z, X, W) + R(Z, X, Y, W) &= 0 \\ R(X, Y, Z, W) &= - R(Y, X, Z, W) \\ R(X, Y, Z, W) &= - R(X, Y, W, Z) \\ R(X, Y, Z, W) &= R(Z, W, X, Y) \end{align} $$

증명

$(1)$

비앙키 항등식에 의해서 성립한다.

$$ \begin{align*} & R(X, Y, Z, W) + R(Y, Z, X, W) + R(Z, X, Y, W) \\ =& g(R(X, Y)Z, W) + g(R(Y, Z)X, W) + g(R(Z, X)Y, W) \\ =& g\left( R(X, Y)Z, W) + g(R(Y, Z)X, W) + g(R(Z, X)Y, W \right) \\ =& g(0, W) \\ =& 0 \end{align*} $$

■

$(2)$

곡률텐서 $R$의 정의에 의해 성립한다.

$$ \begin{align*} R(X, Y, Z, W) &= g\left( R(X, Y)Z, W \right)) \\ &= g\left( \nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z + \nabla_{[X, Y]}Z, W \right) \\ &= - g\left( \nabla_{X}\nabla_{Y}Z - \nabla_{Y}\nabla_{X}Z + \nabla_{[Y, X]}Z, W \right) \\ &= - g\left( R(Y, X)Z, W \right) \\ &= - R(Y, X, Z, W) \end{align*} $$

■

$(3)$

$(2)$에서처럼 바로 계산되는 건 아니다. 우선 다음의 claim을 보이자.

Claim: $R(X, Y, Z, Z) = 0$

$$ \begin{align*} R(X, Y, Z, Z) &= g\left( \nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z + \nabla_{[X, Y]}Z, Z \right) \\ &= g\left( \nabla_{Y}\nabla_{X}Z, Z \right) - g\left( \nabla_{X}\nabla_{Y}Z, Z \right) + g\left( \nabla_{[X, Y]}Z, Z \right) \end{align*} $$

이때 레비-치비타 접속은 양립가능하므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} && Y g(\nabla_{X}Z, Z) &= g(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z, Z) + g(\nabla_{X}Z, \nabla_{Y}Z) \\ \implies && g(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z, Z) &= Y g(\nabla_{X}Z, Z) - g(\nabla_{X}Z, \nabla_{Y}Z) \end{align*} $$

마찬가지로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} && X g(\nabla_{Y}Z, Z) &= g(\nabla_{X}\nabla_{Y}Z, Z) + g(\nabla_{Y}Z, \nabla_{X}Z) \\ \implies && g(\nabla_{X}\nabla_{Y}Z, Z) &= X g(\nabla_{Y}Z, Z) - g(\nabla_{Y}Z, \nabla_{X}Z) \end{align*} $$

$$ \begin{align*} && [X, Y] g(Z, Z) &= g(\nabla_{[X, Y]}Z, Z) + g(Z, \nabla_{[X, Y]}Z) \\ \implies && g(\nabla_{[X, Y]}Z, Z) &= \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \end{align*} $$

이를 대입하면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} &R(X, Y, Z, Z) \\ =& Y g(\nabla_{X}Z, Z) - g(\nabla_{X}Z, \nabla_{Y}Z) - X g(\nabla_{Y}Z, Z) + g(\nabla_{Y}Z, \nabla_{X}Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ =& Y g(\nabla_{X}Z, Z) - X g(\nabla_{Y}Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \end{align*} $$

위에서와 마찬가지로, $\nabla$가 양립가능하므로 다음이 성립한다.

$$ YXg(Z, Z) = Yg(\nabla_{X}Z, Z) + Yg(Z, \nabla_{X}Z) \implies Yg(Z, \nabla_{X}Z) = \dfrac{1}{2}YXg(Z, Z) $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} R(X, Y, Z, Z) &= \dfrac{1}{2}YXg(Z, Z) - \dfrac{1}{2}XYg(Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ &= \dfrac{1}{2}(YX- XY)g(Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ &= \dfrac{1}{2}[Y, X]g(Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ &= - \dfrac{1}{2}[X, Y]g(Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ &= 0 \end{align*} $$

그러면 교대함수일 필요충분조건에 의해,

$$ R(X, Y, Z, W) = -R(X, Y, W, Z) $$

■

$(4)$

우선 비앙키 항등식에 의해 다음이 성립한다.

$$ R(X, Y, Z, W) + R(Y, Z, X, W) + R(Z, X, Y, W) = 0 $$

이 네 변수를 cyclic하게 바꿔주면, 마찬가지로 비앙키 항등식으로부터 다음의 세 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} R(Y, Z, W, X) + R(Z, W, Y, X) + R(Z, X, Y, X) &= 0 \\ R(Z, W, X, Y) + R(W, X, Z, Y) + R(X, Z, W, Y) &= 0 \\ R(W, X, Y, Z) + R(X, Y, W, Z) + R(Y, W, X, Z) &= 0 \end{align*} $$

이 네 식을 전부 더해주면, 위에서 증명한 대칭성에 의해 다음과 같이 소거된다.

$$ \begin{align*} &0 \\ =& {\color{red}\cancel{\color{black}R(X, Y, Z, W)}} + {\color{green}\cancel{\color{black}R(Y, Z, X, W)}} + R(Z, X, Y, W) \\ & + {\color{green}\cancel{\color{black}R(Y, Z, W, X)}} + {\color{orange}\cancel{\color{black}R(Z, W, Y, X)}} + R(W, Y, Z, X) \\ & + {\color{orange}\cancel{\color{black}R(Z, W, X, Y)}} + {\color{purple}\cancel{\color{black}R(W, X, Z, Y)}} + R(X, Z, W, Y) \\ & + {\color{purple}\cancel{\color{black}R(W, X, Y, Z)}} + {\color{red}\cancel{\color{black}R(X, Y, W, Z)}} + R(Y, W, X, Z) \\ =& R(Z, X, Y, W) + R(W, Y, X, X) + R(X, Z, W, Y) + R(Y, W, X, Z) \\ =& (-1)(-1)R(X, Z, W, Y) + (-1)(-1)R(Y, W, X, Z) + R(X, Z, W, Y) + R(Y, W, X, Z) \\ \end{align*} $$