📂기하학

회전면위의 측지선

정리¹

$M$을 단위속력곡선 $\alpha (t) = (r(t), z(t))$으로 생성되는 회전면이라고 하자. 그러면

(a) 모든 메리디안은 측지선이다.

(b) 평행선이 측지선이 될 조건은 평행선 위의 모든 점에서 $\mathbf{x}_{t}$가 회전축과 평행한 것이다.

$$\text{The circle of latitude is a geodesic.} \\ \iff \mathbf{x}_{t} \text{ is parallel to the axis of revolution at all point on the circle of latitude.}$$

설명

측지선이 항상 글로벌한 최단거리 경로가 되는 건 아니지만, 로컬하게는 최단거리 경로가 될 수 있다.

(b)는 회전면의 가장 볼록한 부분 혹은 가장 오목한 부분에서만 평행선이 측지선이 됨을 말해준다.

증명

공통으로 쓰이는 부분을 먼저 계산하여 정리하고 각각의 경우에 적용시킬 것이다.

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회전면을 $\mathbf{x}(t, \theta) = \left( r(t)\cos\theta, r(t)\sin\theta, z(t) \right)$라고 하자. 그러면 두 편속도 벡터는 다음과 같다.

$$\mathbf{x}_{t}(t,\theta) = \mathbf{x}_{1} = \left( \dot{r}(t) \cos \theta, \dot{r}(t) \sin \theta, \dot{z}(t) \right)$$

$$\mathbf{x}_{\theta}(t, \theta) = \mathbf{x}_{2} = \left( -r(t) \sin\theta, r(t)\cos\theta , 0\right)$$

그러면 리만 메트릭 행렬과 역행렬은 다음과 같다. $\alpha$를 단위속력곡선이라 했으므로, $\left| \dot{\alpha} \right|^{2} = \dot{r}^{2} + \dot{z}^{2} = 1$이고

$$\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle & \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle \\ \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle & \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{r}^{2} + \dot{z}^{2} & 0 \\ 0 & r^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{bmatrix}$$

$$\left[ g_{ij} \right]^{-1} = [g^{lk}] = \dfrac{1}{r^{2}}\begin{bmatrix} r^{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r^{2}} \end{bmatrix}$$

크리스토펠 심볼

$$\Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{l=1}^{2} g^{lk} \left( \dfrac{\partial g_{lj}}{\partial u_{i}} - \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u_{l}} + \dfrac{\partial g_{il}}{\partial u_{j}} \right)$$

$\left[ g_{ij} \right]$와 $g^{lk}$는 대각행렬이므로, 위 크리스토펠 심볼 공식에서 $l=k$일 때의 항만 남는다. 각각의 $\Gamma_{ij}^{k}$를 구해보면 다음과 같다.

$$\begin{align*} \Gamma_{11}^{1} =&\ \dfrac{1}{2}g^{11}\dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{1}} = 0 \\ \Gamma_{12}^{1} =&\ \Gamma_{21}^{1} = \dfrac{1}{2}g^{11} \left( \dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{1}} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{2}}\right) = 0 \\ \Gamma_{22}^{1} =&\ \dfrac{1}{2} g^{11} \left( \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{2}} - \dfrac{\partial g_{22}}{\partial u_{1}} + \dfrac{\partial g_{21}}{\partial u_{2}}\right) = -\dfrac{1}{2} g^{11} \dfrac{\partial g_{22}}{\partial u_{1}} = -\dfrac{1}{2} 1 \cdot \dfrac{\partial g_{22}}{\partial t} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial t}(r^{2}) = -r\dot{r} \\ \Gamma_{11}^{2} =&\ \dfrac{1}{2} g^{22} \left( \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{11}}{\partial u_{2}} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{1}} \right)=0 \\ \Gamma_{12}^{2} =&\ \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{1}{2} g^{22} \left( \dfrac{\partial g_{22}}{\partial u_{1}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{2}} + \dfrac{\partial g_{12}}{\partial u_{2}} \right) = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^{2}} \dfrac{\partial}{\partial t}r^{2} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^{2}} 2 r \dot{r} = \dfrac{\dot{r}}{r} \\ \Gamma_{22}^{2} =&\ \dfrac{1}{2} g^{22} \left( \dfrac{\partial g_{22}}{\partial u_{2}} \right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{r^{2}} \dfrac{\partial}{\partial \theta}r^{2} = 0 \end{align*}$$

측지선일 필요충분조건

단위속력곡선 $\alpha (s) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(s), \alpha^{2}(s))$가 측지선일 필요충분조건은 다음과 같다.

$$\alpha \text{ is geodesic} \iff (\alpha^{k})^{\prime \prime} + \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} {\Gamma _{ij}}^{k} (\alpha^{i})^{\prime} (\alpha^{j})^{\prime} = 0, \quad \forall k=1,2$$

$\alpha^{1}(s)=t(s), \alpha^{2}(s)=\theta (s)$이므로, 회전면 위의 곡선이 측지선일 필요충분조건은 다음과 같다.

$k=1$일때,

$$\begin{equation} (\alpha^{1})^{\prime \prime} + \Gamma_{22}^{1}(\alpha^{2})^{\prime}(\alpha^{2})^{\prime} = t^{\prime \prime} -r\dot{r}\theta^{\prime}\theta^{\prime}= 0 \end{equation}$$

$k=2$일때,

$$\begin{equation} (\alpha^{2})^{\prime \prime} + 2\Gamma_{12}^{2}(\alpha^{1})^{\prime} (\alpha^{2})^{\prime} = \theta^{\prime \prime} + 2\dfrac{\dot{r}}{r} t^{\prime} \theta^{\prime} = 0 \end{equation}$$

(a)

메리디안 $\alpha$는 곡면 위의 $t-$매개변수 곡선이므로, 고정된 $\theta_{0}$에 대해서 다음과 같다.

$$\alpha (s) = \mathbf{x}(t(s), \theta_{0}) = \left( r(t) \cos \theta_{0}, r(t)\sin\theta_{0}, z(t) \right),$$

이때 $\theta_{0}$가 상수이므로 $\theta^{\prime}=\theta^{\prime \prime}=0$이고 $(2)$가 성립한다. $(1)$조건은 다음과 같이 간단해진다.

$$t^{\prime \prime} = 0$$

메리디안은 $s=t$인 경우이므로 $t^{\prime} = \dfrac{dt}{dt} =1$, $t^{\prime \prime}=0$이고 $(1)$이 성립한다. 그러므로 메리디안은 측지선이다.

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(b)

평행선은 $t$가 상수인 경우이므로 $t^{\prime} = t^{\prime \prime} = 0$가 성립한다. 우선 회전면 $\mathbf{x}(t, \theta)$ 위에서 $t$만 고정시킨 곡선 $\alpha (\theta)$는 다음과 같이 단위속력곡선이 아님을 보일 수 있다.

$$\alpha (\theta) = \left( r(t_{0}) \cos \theta, r(t_{0})\sin \theta, z(t_{0}) \right)$$

$$\left| \dfrac{d\alpha}{d\theta} \right| = \left| (-r(t_{0})\sin\theta, r(t_{0})\cos\theta, 0) \right| = r(t_{0})$$

따라서 $\alpha (s) = \mathbf{x}\left( t(s), \theta (s) \right)$와 같이 재매개변수화된 평행선을 생각하자. 그러면 단위속력곡선이므로 다음이 성립한다.

$$1 = \left| \alpha^{\prime}(s) \right|^{2} = \left| \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}t^{\prime} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \theta}\theta^{\prime} \right|^{2} = \left| \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \theta}\theta^{\prime} \right|^{2} = \left\langle \mathbf{x}_{\theta} , \mathbf{x}_{\theta} \right\rangle (\theta^{\prime})^{2} = g_{22} (\theta^{\prime})^{2}$$

$g_{22} = r^{2}$이었으므로,

$$1 = r^{2} (\theta^{\prime})^{2}$$

따라서 $\theta^{\prime} \ne 0$이고 다음이 성립한다.

$$0 \ne \theta^{\prime} = \pm \dfrac{1}{r}$$

이때 평행선위에서 $r$은 고정된 상수이다. 따라서 $\theta^{\prime \prime} = 0$이고 우선 $(2)$는 성립한다. $(1)$이 성립하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

$$\begin{align*} (1) \text{ is hold.} \iff& \dot{r}=0 \\ \iff& \mathbf{x}_{t} = (\dot{r} \cos \theta, \dot{r}\sin\theta, \dot{z}) = (0,0,\dot{z}) \\ \iff& \mathbf{x}_{t} \text{ is parallel to } z- \text{axis.} \end{align*}$$

$(1)$이 성립한다는 것은 평행선이 측지선이라는 말이므로,

$$\text{The circle of latitude is a geodesic.} \\ \iff \mathbf{x}_{t} \text{ is parallel to the axis of revolution at all point on the circle of latitude.}$$

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