실벡터공간에서 내적이란?
📂선형대수 실벡터공간에서 내적이란? 정의 V V V 실벡터공간 이라고 하자. V V V 내적 inner product 이란, 아래의 조건을 만족하면서, V V V ⟨ u , v ⟩ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle ⟨ u , v ⟩
u , v , w ∈ V \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V u , v , w ∈ V k ∈ R k \in \mathbb{R} k ∈ R
⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle ⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ⟨ u + v , w ⟩ = ⟨ u , w ⟩ + ⟨ v , w ⟩ \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle ⟨ u + v , w ⟩ = ⟨ u , w ⟩ + ⟨ v , w ⟩ ⟨ k u , v ⟩ = k ⟨ u , v ⟩ \langle k \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = k \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle ⟨ k u , v ⟩ = k ⟨ u , v ⟩ ⟨ v , v ⟩ ≥ 0 and ⟨ v , v ⟩ = 0 ⟺ v = 0 \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 \iff \mathbf{v}=\mathbf{0} ⟨ v , v ⟩ ≥ 0 and ⟨ v , v ⟩ = 0 ⟺ v = 0 설명 정의를 읽어보면 고등학교때부터 사용하던 그 내적을 표현하기 위해서 당연히 만족해야할 조건이라는 생각이 들 것이다. 개념적으로는 이보다 더 일반화되지는 않고 실수를 복소수로 확장하는 정도 가 남아있다. 선형대수를 배운다면 내적을 실수값을 갖도록 정의하는 정도에서 그칠 것이고, 함수해석이나 힐베르트공간을 배울 때에서는 복소수값을 갖는 것까지 일반화시켜서 다룰 것이다.
유클리드공간에서는 보통 [거리], [놈], [내적(점곱)]을 각각 정의한 뒤 이 사이의 관계식을 성질로써 유도하지만 일반벡터공간에서 위와 같이 내적을 일반화하면 놈과 거리도 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.
∥ v ∥ : = ⟨ v , v ⟩ d ( u , v ) : = ∥ u − v ∥ = ⟨ u − v , u − v ⟩
\begin{align*}
\| \mathbf{v} \| &:= \sqrt{ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle }
\\ d( \mathbf{u}, \mathbf{v}) &:= \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \| = \sqrt{ \langle \mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{u} - \mathbf{v} \rangle }
\end{align*}
∥ v ∥ d ( u , v ) := ⟨ v , v ⟩ := ∥ u − v ∥ = ⟨ u − v , u − v ⟩
여러공간에서의 내적 유클리드공간 유클리드공간에서 다음과 같이 가중내적 weighted inner product 을 정의할 수 있다.
u , v ∈ R n \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} u , v ∈ R n w i R w_{i} \mathbb{R} w i R
⟨ u , v ⟩ = w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + ⋯ + w n u n v n
\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = w_{1}u_{1}v_{1} + w_{2}u_{2}v_{2} + \cdots + w_{n}u_{n}v_{n}
⟨ u , v ⟩ = w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + ⋯ + w n u n v n
물리 실험에서 관측된 값을 x 1 , … x n x_{1}, \dots x_{n} x 1 , … x n f 1 + f 2 + ⋯ + f n = m f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}=m f 1 + f 2 + ⋯ + f n = m w 1 = w 2 = ⋯ = w n = 1 m w_{1}=w_{2}=\cdots=w_{n}=\frac{1}{m} w 1 = w 2 = ⋯ = w n = m 1 평균 을 표현할 수 있다.
⟨ x , f ⟩ = 1 m ( f 1 x 1 + f 2 x 2 + ⋯ f n x n )
\langle \mathbf{x}, \mathbf{f} \rangle = \dfrac{1}{m} \left( f_{1}x_{1} + f_{2}x_{2} + \cdots f_{n}x_{n} \right)
⟨ x , f ⟩ = m 1 ( f 1 x 1 + f 2 x 2 + ⋯ f n x n )
행렬공간 행렬공간 M n n M_{nn} M nn
U , V ∈ M n n ( C ) U, V \in M_{nn}(\mathbb{C}) U , V ∈ M nn ( C )
⟨ U , V ⟩ = Tr ( U ∗ V )
\langle U, V \rangle = \text{Tr}(U^{\ast} V)
⟨ U , V ⟩ = Tr ( U ∗ V )
이때 Tr \text{Tr} Tr 대각합 이다. 이를 다음과 같이 표기하고 프로베니우스 내적 Frobenius inner product 이라 부르기도 한다.
⟨ U , V ⟩ F
\left\langle U, V \right\rangle_{F}
⟨ U , V ⟩ F
2 × 2 2 \times 2 2 × 2 U , V U, V U , V
U = [ u 1 u 2 u 3 u 4 ] , V = [ v 1 v 2 v 3 v 4 ]
U=\begin{bmatrix} u_{1} & u_{2} \\ u_{3} & u_{4} \end{bmatrix}
,\quad
V=\begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} \\ v_{3} & v_{4} \end{bmatrix}
U = [ u 1 u 3 u 2 u 4 ] , V = [ v 1 v 3 v 2 v 4 ]
그러면
U ∗ V = [ u 1 ∗ u 3 ∗ u 2 ∗ u 4 ∗ ] [ v 1 v 2 v 3 v 4 ] = [ u 1 ∗ v 1 + u 3 ∗ v 3 u 1 ∗ v 2 + u 3 ∗ v 4 u 2 ∗ v 1 + u 4 ∗ v 3 u 2 ∗ v 2 + u 4 ∗ v 4 ] ⟹ Tr ( U ∗ V ) = u 1 ∗ v 1 + u 2 ∗ v 2 + u 3 ∗ v 3 + u 4 ∗ v 4
\begin{align*}
&& U^{\ast} V &= \begin{bmatrix} u_{1}^{\ast} & u_{3}^{\ast} \\ u_{2}^{\ast} & u_{4}^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{1}^{\ } & v_{2}^{\ } \\ v_{3}^{\ } & v_{4}^{\ } \end{bmatrix}
\\ && &=
\begin{bmatrix} u_{1}^{\ast}v_{1}^{\ } + u_{3}^{\ast}v_{3}^{\ } & u_{1}^{\ast}v_{2}^{\ } + u_{3}^{\ast}v_{4}^{\ }
\\ u_{2}^{\ast}v_{1}^{\ } + u_{4}^{\ast}v_{3}^{\ } & u_{2}^{\ast}v_{2}^{\ } + u_{4}^{\ast}v_{4}^{\ }
\end{bmatrix}
\\ \implies && \text{Tr}(U^{\ast}V) &= u_{1}^{\ast}v_{1}^{\ } + u_{2}^{\ast}v_{2}^{\ } + u_{3}^{\ast}v_{3}^{\ } + u_{4}^{\ast}v_{4}^{\ }
\end{align*}
⟹ U ∗ V Tr ( U ∗ V ) = [ u 1 ∗ u 2 ∗ u 3 ∗ u 4 ∗ ] [ v 1 v 3 v 2 v 4 ] = [ u 1 ∗ v 1 + u 3 ∗ v 3 u 2 ∗ v 1 + u 4 ∗ v 3 u 1 ∗ v 2 + u 3 ∗ v 4 u 2 ∗ v 2 + u 4 ∗ v 4 ] = u 1 ∗ v 1 + u 2 ∗ v 2 + u 3 ∗ v 3 + u 4 ∗ v 4
같이보기 