에르미트 행렬의 로우너 순서
정의
로우너 순서
두 행렬 $A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 가 에르미트 행렬이라고 하자. $\left( A - B \right)$ 가 양준정부호면 $A \ge B$ 와 같이 나타내고, $\left( A - B \right)$ 가 양정부호면 $A > B$ 와 같이 나타낸다. 이와 같은 부분순서 $\ge$, $>$ 를 로우너 순서Loewner order라 한다.
설명
흔히 생각하는 스칼라와 달리, 아니 사실 복소수만 되어도 그들 사이에 자연스러운 순서를 정의하는 것은 쉽지 않은 일이다. 특히 행렬의 경우 성분이 훨씬 많기 때문에 이들의 타당한 순서를 정의하기가 곤란한데, 행렬의 정부호가 행렬에 일종의 부호를 부여한다는 점에서 행렬에 순서를 줄 수 있게 된다.
정리
$$ \begin{align*} \mathbb{H}_{n} :=& \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A = A^{\ast} \right\} \\ \mathbb{P}_{n} :=& \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} > 0 \right\} \\ \overline{\mathbb{P}_{n}} :=& \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \ge 0 \right\} \end{align*} $$ 에르미트 행렬의 벡터공간 $\mathbb{H}_{n}$ 의 양정부호 행렬의 집합을 $\mathbb{P}_{n}$ 이라 할 때, 양준정부호 행렬의 집합을 $\overline{\mathbb{P}_{n}}$ 와 같이 나타내자. $\overline{\mathbb{P}_{n}}$ 은 $\ge$ 에 대해 부분순서 집합이지만, 전순서 집합은 될 수 없다.
증명
반례를 드는 것으로 충분하다. $$ \begin{align*} A :=& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B :=& \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$ 위와 같이 주어진 두 행렬 $A, B$ 는 양준정부호 행렬이지만 $$ \begin{align*} A - B =& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ B - A =& \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$ 은 임의의 벡터 $\left( x_{1} , x_{2} \right) \in \mathbb{R}^{2}$ 에 대해 그 이차 형식이 항상 항상 $x_{1}^{2} - x_{2}^{2}$ 꼴이 되어 모두 양준정부호가 될수 없다. 이 경우 $A > B$, $B > A$ 가 모두 성립하지 않으므로 $\overline{\mathbb{P}_{n}}$ 은 전순서 집합이 되지 못한다.
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