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카이제곱분포의 충분통계량 📂확률분포론

카이제곱분포의 충분통계량

정리

카이제곱분포를 따르는 랜덤샘플 X:=(X1,,Xn)χ2(r)\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \chi^{2} (r) 이 주어져 있다고 하자. rr 에 대한 충분통계량 TT 는 다음과 같다. T=(iXi) T = \left( \prod_{i} X_{i} \right)

증명

감마 분포와 카이제곱 분포의 관계: Γ(r2,2)    χ2(r) \Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r)

감마분포의 충분통계량: 감마분포를 따르는 랜덤샘플 X:=(X1,,Xn)Γ(k,θ)\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \Gamma \left( k, \theta \right) 이 주어져 있다고 하자.

(k,θ)\left( k, \theta \right) 에 대한 충분통계량 TT 는 다음과 같다.

T=(iXi,iXi) T = \left( \prod_{i} X_{i}, \sum_{i} X_{i} \right)

카이제곱분포는 본질적으로 감마분포고, 감마분포에서 k=r/2k = r/2 에 대한 충분통계량이 iXi\prod_{i} X_{i} 이므로 카이제곱분포의 충분통계량 역시 iXi\prod_{i} X_{i} 이다.