베타분포의 충분통계량
정리
베타분포를 따르는 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \text{Beta} \left( \alpha, \beta \right)$ 이 주어져 있다고 하자.
$\left( \alpha, \beta \right)$ 에 대한 충분통계량 $T$ 는 다음과 같다. $$ T = \left( \prod_{i} X_{i}, \prod_{i} \left( 1 - X_{i} \right) \right) $$
증명
$$ \begin{align*} f \left( \mathbf{x} ; \alpha, \beta \right) =& \prod_{k=1}^{n} f \left( x_{k} ; \alpha, \beta \right) \\ =& \prod_{k=1}^{n} {{ 1 } \over { B(\alpha, \beta) }} x_{k}^{\alpha - 1} \left( 1 - x_{k} \right)^{\beta - 1} \\ =& {{ 1 } \over { B(\alpha, \beta) }} \left( \prod_{k=1}^{n} x_{k} \right)^{\alpha - 1} \left( \prod_{k=1}^{n} \left( 1 - x_{k} \right) \right)^{\beta - 1} \end{align*} $$
네이만 인수분해 정리에 따라 $T := \left( \prod_{i} X_{i}, \prod_{i} \left( 1 - X_{i} \right) \right)$ 는 $\left( \alpha, \beta \right)$ 에 대한 충분통계량이다.
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