📂복소해석

슈발츠 보조정리 증명

정리 ¹

단위원 $|z| \le 1$ 에서 해석적인 함수 $f$ 에 대해 $f(0) = 0$이고 $0 < |z| < 1$ 에서 $|f(z)| \le 1$ 이라고 하자. 그러면 $0 < |z| < 1$ 에서 $$ |f ' (0)| \le 1 \\ |f(z)| \le |z| $$

증명

물론 일반성을 잃지 않고 $|z| \le r$ 로 확장할 수 있지만 증명의 편의를 위해 단위원을 잡았다.

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새로운 함수 $g$ 를 $\displaystyle g(z) = \begin{cases} f(z) / z & , \text{if } 0 < \left| z \right| < 1 \\ f ' (0) & , \text{if } z = 0 \end{cases}$ 와 같이 정의하자.

$\displaystyle \lim_{z \to 0} {{f(z)} \over {z}} = f '(0)$ 이므로 $g$ 는 단위원 안에서 연속일 뿐만 아니라 해석적이다.

$$ |g(z)| = \left| {{f(z)} \over {z}} \right| = {{1} \over {|z|}} | f(z) | \le {{1} \over {|z|}} $$

최대절댓값 정리에 의해 $$ |g(z)| \le {{1}\over{|z|}} = 1 $$ 따라서 $$ |g(0)| = |f ' (0)| \le 1 $$ 한편 $|g(z)| \le 1$ 의 양변에 $|z|$ 를 곱하면 $$ |z||g(z)| \le |z| $$ 다시 정리하면 $$ |z||g(z)| = \left| z {{f(z)} \over {z}} \right| = |f(z)| \le |z| $$

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