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SDE 수치적 해의 강한 수렴과 약한 수렴 📂확률미분방정식

SDE 수치적 해의 강한 수렴과 약한 수렴

빌드업

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dWt,t[t0,T] d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t , X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in \left[ t_{0} , T \right] 확률미분방정식이 위와 같이 주어져 있고, 시간은 t0<t1<<tNt_{0} < t_{1} < \cdots < t_{N} 와 같이 이산화discretization 되어있다고 하자. 충분히 큰 NNN \in \mathbb{N} 을 선택해서 Δ=(Tt0)/N(0,1)\Delta = \left( T - t_{0} \right) / N \in (0,1) 이라 두면 이는 시간을 등간격equidistant으로 자른 것이다. SDE의 해를 X(t)X(t) 라 하고 Y(T)Y(T) 를 그 수치적 근사해라고 한다면, 둘의 평균적인 차이인 EX(T)Y(T) E \left| X(T) - Y(T) \right| 는 수치적 근사해가 얼마나 정확한지에 대한 합리적 측도가 될 것이다.

정의 1

Δ\Delta 에 의존하지 않으면서 다음을 만족시키는 상수 CCγ\gamma 가 존재하면 YΔY_{\Delta} 가 솔루션 XXγ\gamma로 강하게 수렴한다converges strongly with order γ\gamma고 말한다. EX(T)YΔ(T)CΔγ E \left| X(T) - Y_{\Delta} (T) \right| \le C \Delta^{\gamma} Δ\Delta 에 의존하지 않으면서 다음을 만족시키는 다항 함수 hh 와 상수 ChC_{h}, β\beta 가 존재하면 YΔY_{\Delta} 가 솔루션 XXγ\gamma로 약하게 수렴한다converges weakly with order γ\gamma고 말한다. E(h(X(T)))E(h(YΔ(T)))ChΔβ \left| E \left( h \left( X (T) \right) \right) - E \left( h \left( Y_{\Delta} (T) \right) \right) \right| \le C_{h} \Delta^{\beta}

설명

X(T)X(T)YΔ(T)Y_{\Delta}(T) 는 끝 점 TT 에서의 확률변수다. 수식이 의미하는 것은 마지막 점에서의 괴리가 Δ0\Delta \to 0 일 때 평균적으로 00 에 가까워진다는 의미이므로, 둘 모두 ‘수렴’이라는 개념을 잘 나타낸다고 볼 수 있다.

약한 수렴은 솔루션 그 자체가 아니라 다항함수 hh 로 식을 고칠 여지가 있다는 점에서 ‘약하다’는 표현이 적절하다. 강하게 수렴한다는 건 그에 대비되는 말이라고 보아야한다. 보편적으로 ffgg 에 어떤 스무딩 컨디션들이 주어져 있다면 강한 수렴의 차수보다 약한 수렴의 차수가 높다.


  1. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p196. ↩︎