SDE 수치적 해의 강한 수렴과 약한 수렴
📂확률미분방정식SDE 수치적 해의 강한 수렴과 약한 수렴
빌드업
dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dWt,t∈[t0,T]
확률미분방정식이 위와 같이 주어져 있고, 시간은 t0<t1<⋯<tN 와 같이 이산화discretization 되어있다고 하자. 충분히 큰 N∈N 을 선택해서 Δ=(T−t0)/N∈(0,1) 이라 두면 이는 시간을 등간격equidistant으로 자른 것이다. SDE의 해를 X(t) 라 하고 Y(T) 를 그 수치적 근사해라고 한다면, 둘의 평균적인 차이인
E∣X(T)−Y(T)∣
는 수치적 근사해가 얼마나 정확한지에 대한 합리적 측도가 될 것이다.
정의
Δ 에 의존하지 않으면서 다음을 만족시키는 상수 C 와 γ 가 존재하면 YΔ 가 솔루션 X 에 γ로 강하게 수렴한다converges strongly with order γ고 말한다.
E∣X(T)−YΔ(T)∣≤CΔγ
Δ 에 의존하지 않으면서 다음을 만족시키는 다항 함수 h 와 상수 Ch, β 가 존재하면 YΔ 가 솔루션 X 에 γ로 약하게 수렴한다converges weakly with order γ고 말한다.
∣E(h(X(T)))−E(h(YΔ(T)))∣≤ChΔβ
설명
X(T) 와 YΔ(T) 는 끝 점 T 에서의 확률변수다. 수식이 의미하는 것은 마지막 점에서의 괴리가 Δ→0 일 때 평균적으로 0 에 가까워진다는 의미이므로, 둘 모두 ‘수렴’이라는 개념을 잘 나타낸다고 볼 수 있다.
약한 수렴은 솔루션 그 자체가 아니라 다항함수 h 로 식을 고칠 여지가 있다는 점에서 ‘약하다’는 표현이 적절하다. 강하게 수렴한다는 건 그에 대비되는 말이라고 보아야한다. 보편적으로 f 와 g 에 어떤 스무딩 컨디션들이 주어져 있다면 강한 수렴의 차수보다 약한 수렴의 차수가 높다.