📂확률미분방정식

SDE 수치적 해의 강한 수렴과 약한 수렴

빌드업

$$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t , X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in \left[ t_{0} , T \right] $$ 확률미분방정식이 위와 같이 주어져 있고, 시간은 $t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{N}$ 와 같이 이산화^{discretization} 되어있다고 하자. 충분히 큰 $N \in \mathbb{N}$ 을 선택해서 $\Delta = \left( T - t_{0} \right) / N \in (0,1)$ 이라 두면 이는 시간을 등간격^equidistant으로 자른 것이다. SDE의 해를 $X(t)$ 라 하고 $Y(T)$ 를 그 수치적 근사해라고 한다면, 둘의 평균적인 차이인 $$ E \left| X(T) - Y(T) \right| $$ 는 수치적 근사해가 얼마나 정확한지에 대한 합리적 측도가 될 것이다.

정의 ¹

$\Delta$ 에 의존하지 않으면서 다음을 만족시키는 상수 $C$ 와 $\gamma$ 가 존재하면 $Y_{\Delta}$ 가 솔루션 $X$ 에 $\gamma$로 강하게 수렴한다^{converges strongly with order $\gamma$}고 말한다. $$ E \left| X(T) - Y_{\Delta} (T) \right| \le C \Delta^{\gamma} $$ $\Delta$ 에 의존하지 않으면서 다음을 만족시키는 다항 함수 $h$ 와 상수 $C_{h}$, $\beta$ 가 존재하면 $Y_{\Delta}$ 가 솔루션 $X$ 에 $\gamma$로 약하게 수렴한다^{converges weakly with order $\gamma$}고 말한다. $$ \left| E \left( h \left( X (T) \right) \right) - E \left( h \left( Y_{\Delta} (T) \right) \right) \right| \le C_{h} \Delta^{\beta} $$

설명

$X(T)$ 와 $Y_{\Delta}(T)$ 는 끝 점 $T$ 에서의 확률변수다. 수식이 의미하는 것은 마지막 점에서의 괴리가 $\Delta \to 0$ 일 때 평균적으로 $0$ 에 가까워진다는 의미이므로, 둘 모두 ‘수렴’이라는 개념을 잘 나타낸다고 볼 수 있다.

약한 수렴은 솔루션 그 자체가 아니라 다항함수 $h$ 로 식을 고칠 여지가 있다는 점에서 ‘약하다’는 표현이 적절하다. 강하게 수렴한다는 건 그에 대비되는 말이라고 보아야한다. 보편적으로 $f$ 와 $g$ 에 어떤 스무딩 컨디션들이 주어져 있다면 강한 수렴의 차수보다 약한 수렴의 차수가 높다.