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거리공간이 컴팩트인 것과 완비이면서 완전 유계인 것은 동치다

정리 ¹

거리공간이 컴팩트인 것과 완비이면서 완전 유계인 것은 동치다.

증명

$(\Rightarrow)$

거리공간 $X$ 가 컴팩트라 하자.

완비 거리 공간의 성질들: $(X,d)$ 가 거리 공간이고 $K \subset X$ 라 하자.

• [1]: $K$ 는 완비 부분 공간이다. $\iff$ $X$ 에서 $K$가 닫힌 집합이다.
• [2]: $K$ 는 완전 유계 공간 $\iff$ $X$에서 닫힌 집합 $K$ 는 컴팩트이다.

• $X \subset X$ 는 $X$ 에서 폐집합이므로 완비 공간이다.
• 폐집합 $X \subset X$ 가 컴팩트이므로 완전 유계다.

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$(\Leftarrow)$

거리공간 $X$ 가 완비성을 가지는 완전 유계 공간이라 하자.

점렬 컴팩트: $K \subset X$ 가 프리컴팩트(점렬 컴팩트)라는 것은 $K$ 에서 정의된 모든 수열 $\left\{ x_{n} \right\} \subset K$ 에 대해 $x \in X$ 로 수렴하는 부분수열 $\left\{ x_{n '} \right\} \subset \left\{ x_{n} \right\}$ 이 존재하는 것이다.

$X \subset X$ 가 시퀀셜리 컴팩트^{sequentially compact}, 즉 프리컴팩트임을 보이면 $\overline{X} = X$ 이므로 $X$ 가 컴팩트임을 보이것과 마찬가지다. $X$ 가 시퀀셜리 컴팩트임을 보이자.

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Part 1.

$X$ 는 완전 유계 공간이므로 아무런 $\varepsilon > 0$ 을 가져와도 $X$ 를 반지름 $\varepsilon$ 인 유한개의 볼로 커버할 수 있다.

$X$ 에서 정의된 임의의 시퀀스 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset X$ 를 생각해보면, $X$ 를 커버하는 유한개의 볼 중 적어도 하나는 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 의 무한하게 많은 점들을 포함해야한다.

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Part 2. $J_{1} \subset \mathbb{N}$

반경 $\varepsilon = 1$ 을 주었을 때 $X$ 의 유한 커버링에서 적어도 하나의 볼은 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 의 무한하게 많은 점들을 포함한다. 이 볼을 $B_{1}$ 이라 부르고, 거기에 포함된 $x_{n}$ 의 인덱스의 집합 $J_{1}$ 을 잡자. 수식으로 적으면 다음과 같다. $$J_{1} := \left\{ n \in \mathbb{N} : x_{n} \in B_{1} \right\}$$

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Part 3. $J_{k} \subset \mathbb{N}$

$B_{1}$ 과 $J_{1}$ 을 잡았던 방식대로 $\varepsilon = {{ 1 } \over { k }}$ 에 대해 $B_{k}$ 와 $J_{k}$ 를 잡아보자. $J_{k}$ 를 정의하는 방식이 $J_{1}$ 과 같으므로 이들은 모두 무한집합이며, $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 수렴하는 곳에서도 $\varepsilon = {{ 1 } \over { k }}$ 을 줄여가야하므로 다음이 성립한다. $$J_{1} \supset J_{2} \supset \cdots$$

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Part 4.

$n_{1} \in J_{1}$ 를 하나 선택하고, 각 $J_{k+1}$ 마다 $n_{k+1} > n_{k}$ 이 성립하게끔 $n_{k+1} \in J_{k+1}$ 을 선택하자. 이러한 선택의 가능성은 Part 3에 따라 정당화된다. 이에 따라 모든 $i,j \ge k$ 에 대해 $x_{n_{i}}$ 와 $x_{n_{j}}$ 는 반경이 $1/k$ 인 $B_{k}$ 에 속하게 된다. 즉 $\left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 의 서브시퀀스 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 는 코시 시퀀스가 되고, $X$ 는 완비성을 가지는 것으로 가정했으므로 이 코시 시퀀스는 $x \in X$ 로 수렴해야한다. 따라서 $X \subseteq X$ 는 시퀄셜리 컴팩트고, 컴팩트다.

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