📂확률미분방정식

브라운의 다리

정의 ^{1 2}

$$ d Y_{t} = {{ b - Y_{t} } \over { 1 - t }} dt + d W_{t} \qquad, t \in [0,1), Y_{0} = a $$ $a, b \in \mathbb{R}$ 이라고 하자. 위의 $1$차원 확률미분방정식의 솔루션인 확률과정 $Y_{t}$ 를 ($a$ 에서 $b$ 로의) 브라우니안 브릿지^{brownian Bridge}라고 한다. $$ Y_{t} = a (1-t) + bt + (1-t) \int_{0}^{t} {{ 1 } \over { 1 - s }} d W_{s} $$

설명

브라운의 다리는 $a$ 에서 시작해서 중간에 아무리 방황하더라도 결국에는 $b$에서 멈추게 되는 아주 독특한 확률과정이다. $t \to 1$ 일 때 $Y_{t}$ 는 거의 확실히 $b$ 로 수렴한다.

$Y_{t}$ 가 $b$ 에서 멀어지면 멀어질수록 드리프트^drift항의 분자에서 $b-Y_{t}$ 가 크게 영향을 미치게 되며, 특히 $t \approx 1$ 에서 분모가 $0$ 에 한없이 가까워지며 그동안의 방황을 만회하게 된다.