📂확률미분방정식

확률미분방정식이란?

정의 ¹

$$d X(t) = f \left( t, X(t) \right) dt + g \left( t, X(t) \right) d W_{t} \qquad , t \in \left[ t_{0} , T \right], T > 0$$

위와 같은 꼴의 방정식을 확률미분방정식, 줄여서 SDE(Stochastic Differential Equation)라 한다. 이 때 $f$, $g$ 를 각각 드리프트^drift, 디퓨젼^diffusion 계수 함수라 부른다. 초기조건 $X_{0} := X \left( t_{0} \right)$ 에 대해 적분꼴은 다음과 같이 나타난다.

$$X(t) = X_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f \left( s, X (s) \right) ds + \int_{t_{0}}^{t} g \left( s, X (s) \right) d W_{s}$$

설명

$$d X_{t} = f \left( t, X_{t}\right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t}$$

이 모양이 불편하지 않다면 이토 미적분학을 아주 잘 공부했거나 미분방정식을 아주 모르거나, 둘 중 하나라고 본다. 미분방정식엔 익숙하지만 SDE에 익숙하지 않은 사람에게는 당연히 $g d W_{t}$ 가 눈에 거슬려야한다. SDE는 ODE와 달리 이러한 확률과정이 포함됨으로써 모델에 불확실성을 가미했다. 이 항을 $0$으로 가정, 그러니까 $g d W_{t} = 0$ 인 비결정론적 시스템을 생각해보면 다음과 같다. $$\begin{align*} d X(t) =& f \left( t, X(t) \right) dt + g \left( t, X(t) \right) d W_{t} \\ =& f \left( t, X(t) \right) dt + 0 \\ =& f \left( t, X(t) \right) dt \end{align*}$$ 양변을 $dt$ 로 나누면 $${{ d X (t) } \over { dt }} = f \left( t, X(t) \right)$$ 이므로, 우리가 익히 잘 알던 비자율시스템의 모습을 되찾은 것을 확인할 수 있다.

드리프트

이러한 설명에서 시계열분석의 드리프트를 떠올려보면 계수 함수 $f$ 를 드리프트라 부르는 것은 상당히 자연스럽다. 뒷항이 어찌되든 시스템 자체를 시스템으로 다룰 수 있는 원동력은 $f dt$ 기 때문이다.

디퓨젼

그렇다면 $g$ 를 확산^diffusion으로 부른다는 것은 자연스레 그 역할 혹은 성질이 퍼지는 것, 흩어지는 것임을 짐작할 수 있다. 확률미분방정식에서 이는 백색 잡음의 개념을 가리키며, 이러한 노이즈에 따라 이토 공식과 같은 독특한 결과가 생긴다.