📂함수

로그 함수의 정의

정의

지수 함수의 역함수 를 로그 함수 $\log : (0,\infty) \to \mathbb{R}$ 라 정의한다. 만약 모든 $x \in (0,\infty)$ 에 대해 $x = e^y$ 면 로그 함수는 다음과 같이 나타난다. $$ \log x := y(x) $$

설명

로그는 간단한 정의와 달리 수학 전반에서 무척 많은 의미를 지닌다. 밑^base은 양수라면 무엇이든 상관 없지만, 보통은 위의 정의와 같이 오일러 상수 $e$ 로 두는 편이다. 교과과정 및 공학에서는 밑이 $10$인 대수로그 $\log_{10}$ 와 구분되게끔 자연로그 $\ln$ 으로 나타내지만, 그 이름 그대로 자연과학에 가까울수록 그냥 구분 없이 $\log$ 라 쓰게 된다.

정수론

해석적 수론에서 로그는 그 자체로써 망골트 함수의 급수고, 산술 함수의 미분을 형식적으로 정의할 때도 등장한다.

정보이론

컴퓨터 공학이나 정보이론에서는 단위로 비트^bit를 많이 사용하다보니 로그의 밑도 주로 $2$ 고, 자연과학쪽 문헌과는 달리 당연하다는 듯이 $\log = \log_{2}$ 를 사용한다. 특히 정보이론에서는 ‘정보’라는 것의 개념이 만족해야할 여러가지 조건을 만족하는 함수로써 지목된다.

복소함수로의 확장 ¹

빌드업

지수 함수의 역사상을 로그 $\log_{\mathbb{C}} : \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{C}$ 라 해보자. 만약 모든 $z \in \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\}$ 에 대해 $z = e^w$ 면 로그 $\log_{\mathbb{C}}$ 는 실수에서 정의된 로그 $\log_{\mathbb{R}}$ 에 대비해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \log_{\mathbb{C}} z := w(z) $$ 단, 이는 $z = r e^{i \theta}$ 의 편각 $\arg z = \theta$ 에 따라 무한히 많은 값에 대응되므로 엄밀히 말해 함수가 아니다. 극좌표 표기로 나타내보면 $w := u + iv$ 에 대해 $$ z = e^{w} \implies r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = e^{u} \left( \cos v + i \sin v \right) $$ 실수부와 허수부를 따로 두고 생각해보면 $$ r = e^{u} \\ \sin \theta = \sin v $$ 따라서 $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $$ u = \log_{\mathbb{R}} r \\ v = \theta + 2 k \pi $$ 정리하면 $$ \log_{\mathbb{C}} z = \log_{\mathbb{R}} |z| + i \left( \arg z + 2 k \pi \right) $$ 앞서 언급했던 것과 같이 $\log_{\mathbb{C}}$ 는 $k \in \mathbb{Z}$ 만큼 많은 값을 가지므로 함수가 아닌 것이다. $k$ 에 따라, 즉 한 바퀴 돌때마다 생기는 $\mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\}$ 의 부분집합들을 로그의 브랜치^branch라 부른다. 이에 우리는 특히 $k=0$ 인 경우를 주브랜치^{principal Branch}라 부르고, 다음과 같이 대문자 $L$ 을 써서 로그 함수 $\text{Log}$ 를 재정의한다.

확장

$\text{Log} : \mathbb{C} \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{C}$ 을 다음과 같이 정의한다. $$ \text{Log} z := \log_{\mathbb{R}} |z| + i \arg z $$

성질

1. $(\log x)^{\prime \prime} = -\dfrac{1}{x^{2}}$이므로 오목함수이다.

2. 다음의 부등식이 성립한다.

$$ 1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \le x - 1\qquad \text{ for } x \gt 0 $$