오일러의 반사 공식 유도
📂함수오일러의 반사 공식 유도
공식
정수가 아닌 p 에 대해
Γ(1−p)Γ(p)=sinπpπ
설명
감마함수를 이용한 공식 중 가장 유명한 공식이다.
반사 공식으로 얻을 수 있는 유용한 결과로는 Γ(21)=π 이 있다. 그래서일까? 반사 공식이라는 이름 또한 21 에 대해 반사 시킨다는 의미에서 붙었다고 한다.
유도
바이어슈트라스의 무한곱: Γ(p)1=peγpn=1∏∞(1+np)e−np
Γ(p)1⋅Γ(−p)1==peγpn=1∏∞(1+np)e−np⋅(−p)e−γpn=1∏∞(1−np)enp−p2n=1∏∞(1−n2p2)
한편 Γ(1−p)=−pΓ(−p) 이므로
Γ(1−p)Γ(p)1=pn=1∏∞(1−n2p2)
싱크함수의 오일러 표현: πxsinπx=n=1∏∞(1−n2x2)
싱크함수의 오일러 표현을 이용해 식을 잘 고치면 원하던 공식을 얻는다.
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