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오일러의 반사 공식 유도 📂함수

오일러의 반사 공식 유도

공식

정수가 아닌 pp 에 대해 Γ(1p)Γ(p)=πsinπp {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} = { {\pi} \over {\sin \pi p } }

설명

감마함수를 이용한 공식 중 가장 유명한 공식이다.

반사 공식으로 얻을 수 있는 유용한 결과로는 Γ(12)=π \Gamma ( { 1 \over 2} ) = \sqrt{\pi} 이 있다. 그래서일까? 반사 공식이라는 이름 또한 12\frac{1}{2} 에 대해 반사 시킨다는 의미에서 붙었다고 한다.

유도

바이어슈트라스의 무한곱: 1Γ(p)=peγpn=1(1+pn)epn {1 \over \Gamma (p)} = p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} }

1Γ(p)1Γ(p)=peγpn=1(1+pn)epn(p)eγpn=1(1pn)epn=p2n=1(1p2n2) \begin{align*} {{1} \over {\Gamma (p)}} \cdot { 1 \over { \Gamma ( -p )}} =& p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} } \cdot (-p) e^{- \gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p \over n} \right) e^{ {p \over n} } \\ =& -p^2 \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right) \end{align*} 한편 Γ(1p)=pΓ(p){ \Gamma ( 1-p )} = -p \Gamma (-p) 이므로 1Γ(1p)Γ(p)=pn=1(1p2n2) { 1 \over {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} } = p \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right)

싱크함수의 오일러 표현: sinπxπx=n=1(1x2n2) {{\sin \pi x} \over {\pi x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right)

싱크함수의 오일러 표현을 이용해 식을 잘 고치면 원하던 공식을 얻는다.