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연분수

정의

아래와 같은 꼴의 분수를 연분수^{continued fraction}라 한다.

$$ a_{0} + \dfrac{1}{a_{1} + \dfrac{1}{a_{2} + \dfrac{1}{a_{3} + \dfrac{1}{\ddots + \dfrac{1}{a_{n}}}}}} \tag{1} $$

설명^{1 2}

$(1)$을 $[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$과 같이 표기한다.

자연스럽게 이에 극한을 취한 것도 생각할 수 있다. 예를 들어 점화식이 $a_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{1 + a_{n}}$, $a_{1} = 1$인 수열을 생각해보자. 그러면 다음이 성립한다. $$ a_{n} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{\ddots 2 + \dfrac{1}{1 + a_{1}}}}} $$

$a_{n}$의 극한은 $\sqrt{2}$이므로, $\sqrt{2}$는 $[1, 2, 2, 2, \dots]$로 나타낼 수 있다.

$$ \sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \ddots}}} \tag{2} $$

$(2)$의 우변과 같은 꼴을 $\sqrt{2}$의 연분수 전개^{continued fraction expansion}라 한다.