편미분 방정식이란

정의¹

편미분 방정식

자연수 $k \in \mathbb{N}$ , 열린 집합 $U \subset \mathbb{R}^{n}$ 에 대해서 다음의 표현을 을 $k$ 계 편미분 방정식^{k^th-order partial differential equation}이라 한다.

$\begin{equation} F(D^{k}u(x), D^{k-1}u(x),\cdots,Du(x),u(x),x)=0\quad (x\in U) \end{equation}$

여기서 $D^{k}u$ 는 멀티인덱스 표기법이다. $F$ 는 다음과 같이 주어지고, 미지수 $u$ 는 다음과 같다.

$F : {\mathbb{R}}^{n^{k}}\times{\mathbb{R}}^{n^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}\times U \to \mathbb{R} \\ u : U \to \mathbb{R}$

연립 편미분 방정식

주어진 $\mathbf{F} : {\mathbb{R}}^{mn^{k}}\times{\mathbb{R}}^{mn^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb{R}^{mn}\times \mathbb{R}^{m}\times U \to \mathbb{R}^{m}$ 와 미지수 $\mathbf{u}:U \to \mathbb{R}^{m}$ , $\mathbf{u}=(u^{1},\cdots,u^{m})$ 에 대해서 아래의 표현

$\mathbf{F}(D^{k}\mathbf{u}(x),D^{k-1}\mathbf{u}(x),\cdots,D\mathbf{u}(x),\mathbf{u}(x),x)=\mathbf{0}\quad (x\in U)$

을 $k$ 계 편미분 방정식 시스템 이라 한다.

설명

편미분방정식은 흔히 PDE로 줄여 부른다. 편미분방정식을 푼다는 것은 $(1)$ 을 만족하는 $u$ 를 모두 찾아내는 것을 의미하고, 그러한 $u$ 를 솔루션^{solution, 해} 이라 한다.

솔루션을 찾는다는 것은

이상적으로는 간단하고 명시적인 솔루션을 찾는 것을 의미하고,
그것이 불가능 할 때는 해의 존재성이나 다른 특징들을 밝혀내는 것을 의미한다.

대부분의 경우, 편미분 방정식에서 $U, \Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ 는 오픈 셋을 의미하고, 변수 $t$ 는 항상 시간을 의미하며 $t\ge 0$ 이다. 또한

$Du=D_{x}u=(u_{x_{1}},\cdots,u_{x_{n}})$

은 $u$ 의 그래디언트를 의미한다. 이때 $x=(x_{1},\cdots,x_{n})$ 이다.

편미분 방정식이란

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