📂편미분방정식

편미분 방정식이란

정의¹

편미분 방정식

자연수 $k \in \mathbb{N}$, 열린 집합 $U \subset \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음의 표현을 을 $k$계 편미분 방정식^{kth-order partial differential equation}이라 한다.

$$ \begin{equation} F(D^{k}u(x), D^{k-1}u(x),\cdots,Du(x),u(x),x)=0\quad (x\in U) \end{equation} $$

여기서 $D^{k}u$는 멀티인덱스 표기법이다. $F$는 다음과 같이 주어지고, 미지수 $u$는 다음과 같다.

$$ F : {\mathbb{R}}^{n^{k}}\times{\mathbb{R}}^{n^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}\times U \to \mathbb{R} \\ u : U \to \mathbb{R} $$

연립 편미분 방정식

주어진 $\mathbf{F} : {\mathbb{R}}^{mn^{k}}\times{\mathbb{R}}^{mn^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb{R}^{mn}\times \mathbb{R}^{m}\times U \to \mathbb{R}^{m}$와 미지수 $\mathbf{u}:U \to \mathbb{R}^{m}$, $\mathbf{u}=(u^{1},\cdots,u^{m})$에 대해서 아래의 표현

$$ \mathbf{F}(D^{k}\mathbf{u}(x),D^{k-1}\mathbf{u}(x),\cdots,D\mathbf{u}(x),\mathbf{u}(x),x)=\mathbf{0}\quad (x\in U) $$

을 $k$계 편미분 방정식 시스템 이라 한다.

설명

편미분방정식은 흔히 PDE로 줄여 부른다. 편미분방정식을 푼다는 것은 $(1)$을 만족하는 $u$를 모두 찾아내는 것을 의미하고, 그러한 $u$를 솔루션^{solution, 해} 이라 한다.

솔루션을 찾는다는 것은

1. 이상적으로는 간단하고 명시적인 솔루션을 찾는 것을 의미하고,
2. 그것이 불가능 할 때는 해의 존재성이나 다른 특징들을 밝혀내는 것을 의미한다.

대부분의 경우, 편미분 방정식에서 $U, \Omega \subset \mathbb{R}^{n}$는 오픈 셋을 의미하고, 변수 $t$는 항상 시간을 의미하며 $t\ge 0$이다. 또한

$$ Du=D_{x}u=(u_{x_{1}},\cdots,u_{x_{n}}) $$

은 $u$의 그래디언트를 의미한다. 이때 $x=(x_{1},\cdots,x_{n})$이다.

분류

편미분방정식은 선형성에 의해 다음과 같이 분류할 수 있다.

선형

편미분방정식 $(1)$이, 주어진 함수 $a_{\alpha}, f$에 대해서, 다음의 식을 만족하면 선형^linear이라 한다.

$$ \sum _{| \alpha | \le k} a_{\alpha}(x) D^{\alpha} u = f(x) $$

$f=0$이면 동차^homogenuous 선형 PDE라고 한다. 선형이 아니면 비선형^non-linear이라 한다. 2계 선형 편미분방정식은 다시 다음과 같이 분류된다.

• Hyperbolic PDE
• Parabolic PDE
• Elliptic PDE

반선형

편미분방정식 $(1)$이 다음을 만족하면 반선형^semilinear이라 한다.

$$ \sum _{| \alpha | = k} a_{\alpha}(x) D^{\alpha} u + a_{0}\left( D^{k-1}u, \dots, Du, u, x \right) = 0 $$

다시말해 semilinear pde는 오더가 $k$^{가장 높은 오더}인 도함수의 계수^coefficient가 $x$에만 의존하는 편미분 방정식을 의미한다. 예로는

• 반응-확산 방정식^{reaction-diffusion equation} $$ u_{t} - \Delta u = f(u) \qquad (\text{e.g. } f(u) = u^{2}) $$

준선형

편미분방정식 $(1)$이 다음을 만족하면 준선형^quasilinear이라 한다.

$$ \sum _{| \alpha | = k} a_{\alpha}(D^{k-1}u, \dots, Du, u, x)D^{\alpha} u + a_{0}\left( D^{k-1}u, \dots, Du, u, x \right) = 0 $$

예로는

• 점성 버거스 방정^{inviscid Burgers’ equation} $$ u_{t} + uu_{xx} = 0 $$

완전 비선형

준선형이 아닌 비선형 방정식을 완전 비선형^{fully nonliear}이라 한다.