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일차 형식 📂선형대수

일차 형식

정의

VV를 nn차원 벡터공간이라 하자. 주어진 상수 ai∈R(or C)a_{i} \in \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})에 대해서, 다음과 선형변환 A:V→R(or C)A : V \to \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})를 일차형식linear form이라 한다.

A(x):=∑i=1naixi A(\mathbf{x}) := \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}

이때 x=[x1⋯xn]T\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}이다.

일반화

주어진 내적공간 (V,<⋅,⋅>)(V, \left< \cdot, \cdot \right>)와 a∈V\mathbf{a} \in V에 대해서, 다음의 선형범함수 A:V→FA : V \to \mathbb{F}를 일차형식이라 한다.

A(x)=<a,x> A(\mathbf{x}) = \left< \mathbf{a}, \mathbf{x} \right>

이때 F\mathbb{F}는 벡터공간 VV의 체이다.

행렬 꼴

aia_{i}, xix_{i}들이 실수이면 Rn\mathbb{R}^{n} 상의 일차 형식이라 한다. 또한 상수와 변수를 a=[a1⋯an]T\mathbf{a}=\begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix}^{T}, x=[x1⋯xn]T\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}와 같이 열벡터로 나타내면 일차 형식은 다음과 같이 행렬 내적으로 표현할 수 있다.

a⋅x=aTx=[a1⋯an][x1⋮xn]=∑i=1naixi \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{a}^{T} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} =\sum \limits _{i=1}^{n} a_{i}x_{i}

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