📂거리공간

거리공간에서 함수의 극한

정의

$(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$를 거리공간이라고 하자. $E\subset X$이고 $f: E\rightarrow Y$이고 $p$가 $E$의 집적점이라고 하자. 그러면 모든 양수 $\varepsilon$에 대해서

$$x \in E \ \text{and} \ d_{X}(x,p)<\delta \implies d_{Y}(f(x),q) <\varepsilon$$

를 만족시키는 $\delta>0$가 존재할 때,

$$f(x)\rightarrow q\ \mathrm{as}\ x\to p$$

혹은

$$\lim \limits_{x\to p}f(x)=q$$

라고 표현하고 $f$는 $p$에서 극한 $q$를 가진다고 하다.

설명

우리는 이제 입실론-델타 논법을 배웠기 때문에 거리공간에서 함수의 극한을 위와 같이 엄밀하게 정의할 수 있다. 여기서 중요한 것은 위의 정의에 의해 $p \in X$가 $p \in E$일 필요는 없다는 것이다. 따라서 어떤 $p \in E$에 대해서

$$f(p) \ne \lim \limits_{x\to p}f(x)$$

일 수도 있다.

정리

$X$, $Y$, $E$, $f$, $p$가 정의에서 설명한 것과 같다고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.

(a)

$$\lim \limits_{x\to p}f(x) = q$$

(b)

$p_{n}\ne p$이고 $\lim \limits_{n\to\infty}p_{n}=p$인 모든 $E$의 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$에 대해서

$$\lim \limits_{n\to\infty}f(p_{n})=q$$

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$(b)$를 풀어 쓰면 ‘$p$로 수렴하는 모든 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$에 대해서, 수열 $\left\{ f(p_{n}) \right\}$가 $q$로 수렴한다’이다.

증명

(a) $\Longrightarrow$ (b)

(a) 가 성립한다고 가정하자. 그리고 $\lim \limits_{n\to\infty} p_{n}=p$인 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$을 임의로 하나 선택하자. 그리고 임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 가정에 의해

$$\begin{equation} x \in E \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p)<\delta \implies d_{Y}(f(x),q)<\varepsilon \label{eq1} \end{equation}$$

이 성립하도록 하는 어떤 양수 $\delta$가 존재한다. 또한 $\left\{ p_{n} \right\}$은 $p$로 수렴하는 수열이므로 앞에서 얻은 양수 $\delta$에 대해서

$$\begin{equation} n\ge N \implies d_{X}(p_{n},p) <\delta \label{eq2} \end{equation}$$

가 성립하는 양수 $N$이 존재한다. 따라서 $\eqref{eq1}$과 $\eqref{eq2}$에 의해 다음이 성립한다.

$$n\ge N \implies d_{X}(p_{n},p)<\delta \implies d_{Y}(f(p_{n}),q)<\varepsilon$$

이는 수열 $\left\{ f(p_{n}) \right\}$이 $q$로 수렴할 조건이므로

$$\lim \limits_{n\to\infty} f(p_{n})=q$$

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증명에 들어가기 전에 아래의 증명은 살짝 복잡하다. 대우법에 의해 ‘(b) 이면 (a) 이다’가 참인 것은 ‘(a) 가 아니면 (b) 가 아니다’가 참인 것과 같으므로 ‘$\lim \limits_{x\to p}f(x)=q$가 성립하지 않으면 $p$로 수렴하는 어떤 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$에 대해서 수열 $\left\{ f(p_{n}) \right\}$이 $q$로 수렴하지 않는다’임을 보이도록 하겠다.

(a) $\Longleftarrow$ (b)

(a) 가 성립하지 않는다고 하자. 그러면 정의에 의해, 어떤 $\varepsilon$에 대해서

$$\begin{equation} x\in E \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p)<\delta \implies d_{Y}(f(x),q) \ge \varepsilon \label{eq3} \end{equation}$$

가 성립하는 양수 $\delta$가 존재한다. 그리고 $p$로 수렴하는 어떤 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$을 생각해보자. 그러면

$$\begin{equation} n\ge N \implies d_{X}(p_{n},p) <\delta \label{eq4} \end{equation}$$

가 성립하도록 하는 어떤 충분히 큰 양수 $N$이 존재한다. 따라서 $\eqref{eq3}$, $\eqref{eq4}$에 의해 어떤 $\varepsilon$에 대해서는

$$n \ge N \implies d_{X}(p_{n},p)<\delta \implies d_{Y}(f(p_{n}),q) \ge \varepsilon$$

가 성립하므로 수열 $\left\{ f(p_{n}) \right\}$은 $q$로 수렴하지 않는다.

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따름정리

$f$가 $p$에서 극한을 가지면 그 극한은 유일하다.

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거리공간에서 수렴하는 수열의 성질¹과 위의 정리로부터 성립한다.