📂거리공간

거리공간에서 상대적으로 열린 집합

설명

두 거리공간 $Y\subset X$가 있다고 하자. 그리고 부분 집합 $E \subset Y \subset X$가 주어졌다고 하자. 만약 $E$가 전체 공간 $X$에 대해서 열려있다면 내점과 열림의 정의에 의해 $Y$를 전체공간으로 두어도 $E$가 열린 집합이다. 전체 집합이 작아지는 상황이기 때문에 $p\in E$의 근방 $N\subset E$이 더 커질 일이 없기 때문이다. 그런데 반대로 $E$가 전체 공간 $Y$에 대해서 열려있다는 사실이 $E$가 $X$에서도 열려있음을 보장하지 않는다. 즉 열려있다는 것은 절대적인 성질이 아니라 전체 집합이 무엇이냐에 따라서 결정되는 상대적인 개념이라는 거다. 아래의 예시를 보자.

예시

• $E=(a,b)$, $Y=\mathbb{R}$, $X=\mathbb{R}^{2}$

  정의에 의해 $(a,b)$가 전체 공간 $\mathbb{R}$에 대해서 열려있다. 하지만 전체 공간을 $\mathbb{R}^{2}$로 확장하면 더 이상 열린 집합이 아니게 된다. 어떤 $p \in (a,b)$에 대해서도 $N\subset (a,b)$을 만족시키는 $p$의 근방 $N$이 존재하지 않기 때문이다.

• $E=[0,1)$, $Y=[0,\infty)$, $X=\mathbb{R}$

  예시1과 마찬가지로 $[0,1)$은 전체 공간 $[0,\infty)$에 대해서 열린 집합이다. 하지만 전체 공간이 $\mathbb{R}$로 확장되면 $[0,1)$은 더이상 열린 집합이 아니다.

따라서 열려있다는 의미를 명확하게 할 때 상대적으로 열림이라는 표현을 쓴다.

정의

두 거리공간 $X$, $Y$에 대해서 $E\subset Y \subset X$라고 하자. 모든 $p \in E$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 상수 $r>0$이 존재하면 $E$는 $Y$에 대해 상대적으로 열린 집합^{relatively open set} 이라고 한다.

$$\begin{equation} d(p,q)<r \quad \text{and} \quad q\in Y \implies q\in E \label{definition} \end{equation}$$

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위 수식은 열림을 새로이 정의한게 아니라 ‘전체 공간을 $Y$로 뒀을 때 $E$가 열려있으면’을 식으로 표현한 것 뿐이다. 다르게 풀어서 설명하면 ‘$Y$에 있는 원소들만으로 $E$에 포함되는 $p \in E$의 근방을 만들 수 있다’이다. 이에 관한 정리를 소개한다.

정리

두 거리공간 $X$, $Y$가 주어졌다고 하자. 그리고 $E \subset Y \subset X$라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.

(a) $E$가 $Y$에 대해 상대적으로 열려있다.

(b) $X$의 어떤 열린 집합 $O_{X}$에 대해서 $E=Y \cap O_{X}$가 성립한다.

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이는 전체공간을 줄이는 상황에서 유용하게 쓰일 수 있다. 예를 들어 전체 공간 $X=\mathbb{R}$에서 $(-a,a)$와 같은 오픈 셋들을 다루고 있었는데 공간을 $Y=[0,\infty)$로 축소시키는 상황을 생각해보자. 그러면 $(-a,a)\not \subset Y$이므로 원래 쓰던 오픈 셋들을 $Y$에서 다룰 수 없다. 이때 위의 정리에 의해 간단히 $[0,a)=Y\cap (-a,a)$와 같이 $Y$에서 오픈 셋들을 잡아올 수 있다.

증명

위상 공간에서의 증명

• (a) $\Longrightarrow$ (b)

  가정에 의해 모든 $p \in E$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 양수 $r_{p}>0$가 존재한다.

  $$d(p,q) <r_{p} \quad \text{and} \quad q\in Y \implies q \in E$$

  이제 $d(p,q)<r_{p}$인 $q\in X$들의 집합을 $O_{X,p}$라고 하자. 그러면 $O_{X,p}$는 $p$의 $X$에서의 근방이 된다. 근방은 열린 집합이므로¹ $O_{X,p}$는 $X$에서 열린 집합이고, 열린 집합들의 합집합은 열린 집합이므로

  $$O_{X}=\bigcup \limits_{p \in E}O_{X,p}$$

  는 $X$에서 열린 집합이다. 이때 모든 $p \in E\subset Y$에 대해서 $p \in O_{X,p}$임은 자명하다. 따라서 다음이 성립한다.

  $$\begin{equation} E\subset Y\cap O_{X,p} \label{eq1} \end{equation}$$

  반대로 우리가 $O_{X,p}$를 잡아온 방식에 의해 다음이 성립한다.

  $$\begin{equation} O_{X,p}\cap Y \subset E \label{eq2} \end{equation}$$

  따라서 $\eqref{eq1}$, $\eqref{eq2}$에 의해

  $$E=Y\cap O_{X,p}$$

  이고 $O_{X,p}$는 $X$에서 열린 집합이므로 (a) $\Longrightarrow$ (b) 가 성립한다.

• (a) $\Longleftarrow$ (b)

  $O_{X}$는 $X$에서 열린 집합이고, $E=Y\cap O_{X}$라고 하자. 그러면 모든 $p\in E$는 $N\subset O_{X}$을 만족하는 근방을 가진다. 또한 집합의 포함관계에 의해 다음이 성립한다.

  $$Y\cap N \subset E$$

  이는 $\eqref{definition}$과 정확하게 같은 의미의 수식이므로 $E$는 $Y$에서 열린 집합이다.

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