타원

정의

평면 위의 두 점 $F$, $F^{\prime}$까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원^ellipse이라고 한다.

타원의 구성요소는 다음과 같다.

$F$, $F^{\prime}$를 초점^focus이라 한다.
$a$를 장반경^{semimajor axis}, $b$를 단반경^{semiminor axis}이라 한다. $b=\sqrt{1-\epsilon^{2}}a$가 성립한다.
$\epsilon$을 이심률^eccentricity이라 한다. 타원이 얼마나 찌그러져있는지를 나타내며, 초점은 타원의 중심에서 $\epsilon a$만큼 떨어져있다. $k$ 혹은 $e$로 표기하기도 한다.
$$ \epsilon^{2}=k^{2}=e^{2} =\begin{cases} \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} ,&0<b<a \\ \frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}, &0<a<b \end{cases} $$
초점에서 장반경에 수직이 되도록 그은 선이 타원과 만나는 점과 초점까지의 거리 $\alpha$를 통경^{latus rectum}이라 한다. $\alpha = (1-\epsilon^{2})a$가 성립한다.
$r_{0}$는 초점에서 근점^pericenter까지의 거리이며 $r_{0}=(1-\epsilon)a$가 성립한다.
$r_{1}$은 초점에서 원점$^apocenter까지의 거리이며 $r_{1}=(1+\epsilon)a$가 성립한다.

설명

두 초점이 같으면 원이기 때문에, 보통 타원이라고 하면 두 초점이 서로 다르다는 것을 의미한다.

판별법

주어진 이차곡선 $Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0$에 대해서 $\Delta = B^{2} - 4AC$를 판별식^discriminant이라 한다. 판별식이 음수인 이차곡선은 타원이다.

타원의 방정식

타원의 중심이 $(x_{0}, y_{0})$이고 장반경이 $a$, 단반경이 $b$인 타원의 방정식은 아래와 같다.

$$ \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 $$

극 좌표에서 초점이 원점인 타원의 방정식

극 좌표계에서 타원의 방정식은 아래와 같다.

$$ r = \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta} $$

혹은

$$ r = \frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} $$

타원의 넓이

장반경이 $a$, 단반경이 $b$인 타원의 넓이 $A$는 아래와 같다.

$$ A=ab\pi $$

타원의 둘레

위 그림과 같은 타원의 둘레는 아래와 같다.

$$ 4b\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta ,\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}} $$

제2 종 타원 적분

아래의 적분을 각각 제2종 완전 타원 적분, 제2종 불완전 타원 적분 이라고 한다.

$$ E(k)=\int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta} d\theta $$

$$ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta $$

타원의 일반화, 일립소이드

선형 변환 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$에 대해 $m$차원 단위구 $N := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{m} : \left\| \mathbf{x} \right\|_{2} = 1 \right\}$ 의 이미지 $AN$ 을 일립소이드^ellipsoid라고 한다. $A$의 고유값 $\sigma_{1}^{2} > \cdots \ge \sigma_{m}^{2} \ge 0$와 그에 따른 단위 고유벡터 $u_{1} , \cdots , u_{m}$에 대해 $\sigma_{i} u_{i}$를 일립소이드의 축^axis라고 한다.