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힐베르트 공간의 프레임 📂힐베르트공간

힐베르트 공간의 프레임

정의1

힐베르트 공간 HH의 시퀀스 {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}에 대해 다음을 만족하는 A,B>0A,B > 0이 존재하면 {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 을 프레임frame이라 부르고, 특히 A=BA = B일 때 이 프레임이 타이트tight하다고 말한다.

A∥v∥2≤∑k∈N∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2,∀v∈H A \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \le \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \qquad , \forall \mathbf{v} \in H

설명

프레임은 베셀 시퀀스와 달리 AA가 존재해서 v\mathbf{v}를 위아래로 가두어준다. 특히 {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}이 HH의 정규직교 기저면 A=B=1A=B=1인 타이트 프레임인 것과 동치다.

정규직교기저의 동치조건: HH 가 힐베르트공간이라고 하자. HH 의 정규직교 시스템 {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 에 대해 다음은 모두 동치다.

  • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 는 HH 의 정규직교 기저다.
  • (iv): 모든 x∈H\mathbf{x}\in H 에 대해 ∑k∈N∣⟨x,ek⟩∣2=∥x∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2}

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p84-85 ↩︎