📂확률분포론

감마 분포

정의 ¹

$k, \theta > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 $\Gamma ( k , \theta )$ 를 감마 분포^{gamma distribution}라고 한다. $$ f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0 $$

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• $\Gamma$ 는 감마 함수를 나타낸다.
• 감마 분포의 확률 밀도 함수는 $\alpha , \beta > 0$ 에 대해 다음과 같이 정의되기도 한다. 본질적으로는 $\theta = {{ 1 } \over { \beta }}$ 냐의 차이 뿐이다. $$ f(x) = {{ \beta^{\alpha } } \over { \Gamma ( \alpha ) }} x^{\alpha - 1} e^{ - \beta x} \qquad , x > 0 $$

기초 성질

적률 생성 함수

• [1]: $$m(t) = \left( 1 - \theta t\right)^{-k} \qquad , t < {{ 1 } \over { \theta }}$$

평균과 분산

• [2]: $X \sim \Gamma ( \alpha , \beta )$ 면 $$ \begin{align*} E(X) =& k \theta \\ \text{Var} (X) =& k \theta^{2} \end{align*} $$

충분통계량

• [3]: 감마분포를 따르는 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \Gamma \left( k, \theta \right)$ 이 주어져 있다고 하자.

$\left( k, \theta \right)$ 에 대한 충분통계량 $T$ 는 다음과 같다. $$ T = \left( \prod_{i} X_{i}, \sum_{i} X_{i} \right) $$

정리

스케일링

• [a]: $X \sim \Gamma ( k , \theta )$ 면 스칼라 $c > 0$ 에 대해 $c X \sim \Gamma ( k , c \theta )$

푸아송 분포와의 관계

• [b]: 모든 자연수 $k$ 에 대해 $$ \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } $$

지수 분포와의 관계

• [c]: $$\Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda)$$

카이제곱 분포와의 관계

• [d]: $$\Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r)$$

베타 분포 유도

• [e]: 두 확률 변수 $X_{1},X_{2}$ 가 독립이고 $X_{1} \sim \Gamma ( \alpha_{1} , 1)$, $X_{2} \sim \Gamma ( \alpha_{2} , 1)$ 이라 하면 $$ {{ X_{1} } \over { X_{1} + X_{2} }} \sim \text{beta} \left( \alpha_{1} , \alpha_{2} \right) $$

설명

감마 분포는 감마 함수에서 이름을 따온 함수로써, 확률 밀도 함수의 정적분이 $1$ 이 된다는 것 자체가 오일러 적분에서 나온 것이다. 그 자체가 어떤 직관적인 의미를 가진다기보다는 통계학적으로 유용한 성질이 많아 인공적으로 유도된 분포다. 이런 분포들을 샘플링 분포^{sampling distribution}라고 부르기도 하는데, 감마 분포는 특유의 모양 덕에 여러가지 분포로 모습을 바꾸며, 편리한 성질들을 많이 제공해준다.

베이지안

베이지안에서는 푸아송 분포의 켤레사전분포로 쓰이기도 한다.

증명

[1]

$\displaystyle t < {{ 1 } \over { \theta }}$ 일 때 $\displaystyle y := x {{ ( 1 - \theta t ) } \over { \theta }}$ 라고 두면 $\displaystyle dy = {{ ( 1 - \theta t ) } \over { \theta }} dx$ 이므로 $$ \begin{align*} m(t) =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} dx \\ =& \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ x (t - 1 / \theta) } dx \\ =& \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x {{( 1 - \theta t)} \over {\theta}} } dx \\ =& \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} \left( {{ y \theta } \over { 1 - \theta t }} \right)^{k - 1} e^{ - y } {{ \theta } \over { 1 - \theta t }}dy \\ =& \left( {{ 1 } \over { 1 - \theta t }} \right)^{k } \int_{0}^{\infty} {{ \theta^{k} } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} y^{k-1} e^{ - y } dy \end{align*} $$ 오일러 적분에 따라 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) }} y^{k-1} e^{ - y } dy = 1$ 이므로 $$ m(t) = \left( 1 - \theta t\right)^{-k} \qquad , t < {{ 1 } \over { \theta }} $$

■

[2]

직접연역한다.

■

[3]

직접연역한다.

[a]

$X \sim \Gamma ( k , \theta )$ 와 $c >0$ 에 대해 $Y = c X$ 라고 하면 $$ \begin{align*} m_{X}(t) =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} dx \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} {{ c^{k} } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} x^{k - 1} e^{ - cx / c\theta} dx \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{{{ t } \over { c }} cx} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} (cx)^{k - 1} e^{ - cx / c\theta} c dx \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{{{ t } \over { c }} y} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} y^{k - 1} e^{ - y / c\theta} dy \end{align*} $$ [1] 적률 생성 함수에 따라 $$ \begin{align*} m_{Y}(t) =& E \left( e^{tY} \right) \\ =& E \left( e^{tcX} \right) \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{{{ tc } \over { c }} y} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} y^{k - 1} e^{ - y / c\theta} dy \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{tz} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) (c\theta)^{k} }} z^{k - 1} e^{ - z / c\theta} dz \\ =& (1 - c \theta)^{-k} \end{align*} $$ 따라서 $Y \sim \Gamma ( k , c \theta)$ 이다.

■

[b]

수학적 귀납법으로 보인다.

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[c]

적률생성함수로 보인다.

■

[d]

적률생성함수로 보인다.

■

코드

다음은 감마분포의 확률밀도함수를 움짤로 보여주는 줄리아 코드다.

@time using LaTeXStrings
@time using Distributions
@time using Plots

cd(@__DIR__)

x = 0:0.1:20
Θ = collect(0.1:0.1:10.0); append!(Θ, reverse(Θ))

animation = @animate for θ ∈ Θ
    plot(x, pdf.(Gamma(1, θ), x),
     color = :black,
     label = "r = 1, θ = $(rpad(θ, 4, '0'))", size = (400,300))
    xlims!(0,20); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pmf\,of\,} \Gamma (1, \theta)")
end
gif(animation, "pdf1.gif")

animation = @animate for θ ∈ Θ
    plot(x, pdf.(Gamma(2, θ), x),
     color = :black,
     label = "r = 2, θ = $(rpad(θ, 4, '0'))", size = (400,300))
    xlims!(0,20); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pmf\,of\,} \Gamma (2, \theta)")
end
gif(animation, "pdf2.gif")

animation = @animate for θ ∈ Θ
    plot(x, pdf.(Gamma(4, θ), x),
     color = :black,
     label = "r = 4, θ = $(rpad(θ, 4, '0'))", size = (400,300))
    xlims!(0,20); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pmf\,of\,} \Gamma (4, \theta)")
end
gif(animation, "pdf4.gif")