구좌표계에서의 각운동량 연산자
📂양자역학구좌표계에서의 각운동량 연산자
공식
각운동량 연산자는 구 좌표계로 다음과 같이 표현된다.
LxLyLz=iℏ(sinϕ∂θ∂+cosϕcotθ∂ϕ∂)=−iℏ(cosϕ∂θ∂−sinϕcotθ∂ϕ∂)=−iℏ∂ϕ∂
유도
각운동량 연산자의 정의는 다음과 같다.
L=r×P=−iℏ(r×∇)
이때 r=(X,Y,Z)는 위치 연산자, P는 운동량 연산자, ∇는 델 연산자이다. 구좌표계에서의 델 연산자는 다음과 같다.
∇=r∂r∂+θr1∂θ∂+ϕrsinθ1∂ϕ∂
r=rr이므로, L은 아래와 같다.
L=−iℏ(rr×∇)=−iℏ(r×rr∂r∂+r×θ∂θ∂+r×ϕsinθ1∂ϕ∂)=−iℏ(ϕ∂θ∂−θsinθ1∂ϕ∂)
이때 두 단위 벡터는 직교좌표계 단위벡터로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
θϕ=cosϕcosθx+sinϕcosθy−sinθz=−sinϕx+cosϕy
따라서 L은 아래와 같다.
L=−iℏ[(−sinϕx+cosϕy)∂θ∂−(cosϕcosθx+sinϕcosθy−sinθz)sinθ1∂ϕ∂]=−iℏ[x(−sinϕ∂θ∂−cosϕcotθ∂ϕ∂)+y(cosϕ∂θ∂−sinϕcotθ∂ϕ∂)+z(∂ϕ∂)]
따라서 각 성분은 다음과 같다.
LxLyLz=iℏ(sinϕ∂θ∂+cosϕcotθ∂ϕ∂)=−iℏ(cosϕ∂θ∂−sinϕcotθ∂ϕ∂)=−iℏ∂ϕ∂
■