타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1a2x2+b2y2=1 의 넓이는 abπab \piabπ 이다.
특히 a=b=ra=b=ra=b=r, 즉 반지름이 rrr 인 원 x2+y2=r2x^2 + y^2=r^2x2+y2=r2 의 넓이는 익히 아는대로 r2πr^2 \pir2π 다.
타원의 넓이를 구하기 위해선 색칠된 영역의 넓이만 구하면 충분하다. 영역의 넓이는 ∫0ab2−b2a2x2dx \int _{0} ^{a} \sqrt{b^2-{b^2 \over a^2} x^2} dx ∫0ab2−a2b2x2dx 로 주어진다. x=asinθx = a \sin \thetax=asinθ 로 치환을 하면 ∫0π2b1−sin2θacosθdθ=ab∫0π2cos2θdθ=ab[14(2θ+sin2θ)]0π2=ab4π \begin{align*} \int _{0} ^{ \pi \over 2 } b \sqrt{1 - \sin ^ 2 \theta } a \cos \theta d \theta =& ab \int _{0} ^{ \pi \over 2 } \cos ^2 \theta d \theta \\ =& ab \left[ {1 \over 4} (2\theta + \sin 2\theta)\right]_{0}^{\pi \over 2} \\ =& {ab \over 4} \pi \end{align*} ∫02πb1−sin2θacosθdθ===ab∫02πcos2θdθab[41(2θ+sin2θ)]02π4abπ 여기에 444 를 곱하면 타원의 넓이 abπab \piabπ 를 얻는다.
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