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가측 공간의 파티션과 리파인먼트 📂측도론

가측 공간의 파티션과 리파인먼트

정의

가측 공간 (Ω,F)( \Omega , \mathcal{F} ) 가 주어져 있다고 하자.

(Ω,F)( \Omega , \mathcal{F} ) 에 대해 i=1kAi=Ω\displaystyle \bigsqcup_{i=1}^{k} A_{i} = \Omega 를 만족하는 P:={AiF:i1i2    Ai1Ai2=}i=1k\mathcal{P} : = \left\{ A_{i} \in \mathcal{F} : i_{1} \ne i_{2} \implies A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} = \emptyset \right\}_{i=1}^{k} 를 가측 공간 Ω\Omega유한 (가측) 파티션이라 한다. 모든 AiPA_{i} \in \mathcal{P} 에 대해 Ai=jJBj\displaystyle A_{i} = \bigsqcup_{j \in J} B_{j} 를 만족시키는 BjPB_{j} \in \mathcal{P} ' 들이 존재하면 P\mathcal{P} ' P\mathcal{P}리파인먼트라 한다.


  • \displaystyle \bigsqcup 은 서로소인 집합들의 합집합을 의미한다.

설명

리만 합을 정의할 때의 파티션과 본질적으로 다른 것은 없다. 리파인먼트란 쉽게 말해 더 잘게 쪼개진 파티션을 의미한다.