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측도의 일반적인 정의 📂측도론

측도의 일반적인 정의

정의

가측 공간 (X,E)(X,\mathcal{E})가 주어졌다고 하자. 아래의 세 조건을 만족하는 확장된 실수값을 갖는 함수 μ:E→R‾\mu : \mathcal{E} \to \overline{\mathbb{R}}를 측도measure 라고 한다.

(a) μ(∅)=0\mu ( \varnothing ) = 0

(b) μ(E)≥0,∀E∈E\mu (E) \ge 0,\quad \forall E\in \mathcal{E}

(c) {Ej}\left\{E_{j}\right\}를 E\mathcal{E}에서 서로소인 집합들의 수열이라고 하자. 그러면 다음을 만족한다.

μ(⋃j=1∞Ej)=∑j=1∞μ(Ej) \mu \left( \bigcup _{j=1}^\infty E_{j} \right) =\sum \limits_{j=1}^\infty \mu (E_{j})

순서쌍 (X,E,μ)(X,\mathcal{E}, \mu)를 측도 공간measure space 이라 한다.

두 집합 E1E_{1}, E2E_2가 E1∩E2=∅E_{1} \cap E_2=\varnothing를 만족하면 E1E_{1}와 E2E_2를 서로소disjoint인 집합이라 한다.

설명

μ\mu의 조건을 μ : E→[0,∞]\mu\ :\ \mathcal{E} \rightarrow [0,\infty]로 바꾸면 (b) 를 포함하므로 생략할 수 있다.

조건 (c) 는 간단히 말해서 가산가법성이다. 주의해야할 점은 서로소인 집합에 대해서만 성립한다는 것이다.

부호측도와 측도를 같이 언급할 때는 강조를 위해서 측도를 양측도positive measure라고 부르기도 한다.

성질

(X,E,μ)(X,\mathcal{E},\mu)를 측도 공간이라 하자.

  • (A) 단조성: E,F∈EE,F\in \mathcal{E}이고 E⊂FE\subset F이면, μ(E)≤μ(F)\mu (E) \le \mu (F)이다.

  • (B) 가산준가법성: {Ej}1∞\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty가 E\mathcal{E}의 원소들의 수열이면, μ(⋃1∞Ej)≤∑1∞μ(Ej)\mu \left( \bigcup_{1}^\infty E_{j} \right) \le \sum _{1}^\infty \mu (E_{j})이다.

  • (C) 아래로부터의 연속성: {Ej}1∞⊂E\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty \subset \mathcal{E}가 단조증가수열이라고 하자. 다시말해 E1⊂E2⊂⋯E_{1} \subset E_2 \subset \cdots. 그러면 다음이 성립한다. μ(⋃1∞Ej)=lim⁡j→∞μ(Ej) \mu\left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty E_{j} \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu (E_{j})

  • (D) 위로부터의 연속성: {Ej}1∞⊂E\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty \subset \mathcal{E}가 단조감소수열이라고 하자. 다시말해 E1⊃E2⊃⋯E_{1} \supset E_2 \supset \cdots. 그리고 μ(E1)<∞\mu (E_{1})<\infty라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. μ(⋂1∞Ej)=lim⁡j→∞μ(Ej) \mu\left(\bigcap \nolimits _{1}^\infty E_{j} \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu (E_{j})

증명

(A)

E⊂FE \subset F라고 하자. 그러면 F=F∖E+EF=F\setminus E+ E이다. 이때 EE와 F∖EF\setminus E는 서로소이므로 측도의 정의 (c) 에 의해 다음이 성립한다.

μ(F)=μ(F∖E+E)=μ(F∖E)+μ(E) \mu (F) = \mu (F\setminus E+ E) = \mu (F\setminus E) + \mu (E)

그러면 측도의 정의 (b) 에 의해서 다음이 성립한다.

μ(F∖E)+μ(E)≥μ(E) \mu (F\setminus E) + \mu (E) \ge \mu (E)

따라서 다음을 얻는다.

μ(F)≥μ(E) \mu (F) \ge \mu (E)

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(B)

5.PNG

F1=E1F_{1}=E_{1}라고 하자. 그리고 k>1k>1에 대해서 Fk=Ek∖(⋃1k−1Ej)F_{k}=E_{k} \setminus \left( \bigcup_{1}^{k-1} E_{j} \right)라고 하자. 그러면 각각의 FkF_{k}는 서로소이고 ⋃1nFj=⋃1nEj, ∀n\bigcup_{1}^n F_{j}=\bigcup_{1}^n E_{j},\ \forall n이다. 또한 각각의 jj에 대해서 Fj⊂EjF_{j} \subset E_{j}이다. 따라서 다음이 성립한다.

μ(⋃1∞Ej)=μ(⋃1∞Fj)=∑1∞μ(Fj)≤∑1∞μ(Ej) \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right)=\mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty F_{j}\right)=\sum \limits_{1}^\infty \mu (F_{j}) \le \sum \limits_{1}^\infty\mu (E_{j})

두번째 등호는 측도의 정의 (c) 에 의해서 성립한다. 마지막 부등식은 (A) 에 의해 성립한다.

■

(C)

6.PNG

E0:=∅E_{0}:= \varnothing라고 하자. 그리고 Fj=Ej∖Ej−1F_{j}=E_{j}\setminus E_{j-1}라고 하자. 그러면 각각의 FjF_{j}는 서로소이다. 또한 ⋃1∞Fj=⋃1∞Ej\bigcup _{1}^\infty F_{j} =\bigcup_{1}^\infty E_{j}이다. 그러면 다음이 성립한다.

μ(⋃1∞Ej)=μ(⋃1∞Fj)=∑1∞μ(Fj)=∑1∞μ(Ej∖Ej−1)=lim⁡n→∞∑1nμ(Ej∖Ej−1)=lim⁡n→∞μ(En)=lim⁡j→∞μ(Ej) \begin{align*} \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) &= \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty F_{j}\right) \\ &= \sum_{1}^\infty \mu (F_{j}) \\ &= \sum \limits_{1}^\infty \mu (E_{j} \setminus E_{j-1} ) \\ &= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{1} ^n \mu (E_{j}\setminus E_{j-1} ) \\ &= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mu (E_{n}) \\ &= \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu (E_{j}) \end{align*}

두번째 등호는 측도의 정의 (c) 에 의해서 성립한다.

■

(D)

7.PNG

Fj=E1∖EjF_{j}=E_{1} \setminus E_{j}라고 하자. 그러면 F1⊂F2⊂⋯F_{1} \subset F_2 \subset \cdots이다. 또한 μ(E1)=μ(Fj)+μ(Ej)\mu (E_{1})=\mu (F_{j})+\mu (E_{j})이고, ⋃1∞Fj=E1∖(⋂1∞Ej)\bigcup_{1}^\infty F_{j}=E_{1} \setminus \left( \bigcap_{1}^\infty E_{j} \right)이 성립한다. 그러면 E1=⋃1∞Fj+⋂1∞EjE_{1}= \bigcup_{1}^\infty F_{j}+\bigcap_{1}^\infty E_{j}이므로 다음이 성립한다.

μ(E1)=μ(⋂1∞Ej)+μ(⋃1∞Fj)=μ(⋂1∞Ej)+lim⁡j→∞μ(Fj)=μ(⋂1∞Ej)+lim⁡j→∞[μ(E1)−μ(Ej)]=μ(E1)+μ(⋂1∞Ej)−lim⁡j→∞μ(Ej) \begin{align*} \mu (E_{1}) &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \mu \left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty F_{j} \right) \\ &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu ( F_{j} ) \\ &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \lim \limits_{j \rightarrow \infty}\big[ \mu ( E_{1} )-\mu (E_{j}) \big] \\ &= \mu ( E_{1} )+ \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) -\lim \limits_{j \rightarrow \infty}\mu (E_{j}) \end{align*}

두번째 등호는 (C) 에 의해서 성립한다. μ(E1)<∞\mu (E_{1}) < \infty이므로 다음을 얻는다.

μ(⋂1∞Ej)=lim⁡j→∞μ(Ej) \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) = \lim \limits_{j \rightarrow \infty}\mu (E_{j})

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