📂정수론

가우스 소수 정리 증명

정리 ¹

가우시안 링의 이리듀서블 엘리먼트를 가우스 소수라 한다. 가우스 정수 $\pi \in \mathbb{Z}[i]$ 가 다음의 조건들 중 하나를 만족하면 가우스 소수다.

• (i): $\pi = 1 + i$
• (ii): 소수 $p \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 인 $\pi = p$
• (iii): 소수 $p \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 이라고 할 때, $p = u^2 + v^2$ 를 만족시키는 $\pi = u + iv$
• (iv): 위의 (i)~(iii) 에 해당되는 $\pi$ 에 $\mathbb{Z}[i]$ 의 유닛 $1,-1,i,-i$ 을 곱해서 구해지는 $i^{k} \pi$
• (iv): 위의 (i)~(iii) 에 해당되는 $\pi$ 에 컨쥬게이트를 취해서 구해지는 $\overline{\pi}$

설명

가우스 정수를 이야기할 때 $\pi$ 는 보통 원주율이 아니라 가우스 소수를 나타낸다. 원래 정수의 소수를 자연 소수^{natural Prime} $p$ 로 많이 써서 혼선을 방지하기 위함이다. 이러한 소수의 확장은 가우스 정수에 대한 연구를 정수론답게 만들어준다.

(i)

$(1 + i)$ 는 기존의 $2 = 1 - (i)^2 = (1 + i)(1-i)$ 를 대신하는 느낌의 수로써, 이보다 더 ‘작은’ 센스의 가우스 소수는 존재하지 않는다.

(ii)

예로써 $7$ 은 가우스 정수를 동원해도 소인수분해를 할 수 없다. 진짜 안 되는지 확인하는 것은 무의미하므로 그냥 증명부터 보는 것을 추천한다.

(iii), (iv), (v)

의 예로써 $5$ 는 $5 = (2 + i)(2 - i) = (1 + i2)(1 - i2)$ 이므로 소인수분해가 가능하다. 여기서 $\mathbb{Z}[i]$ 가 UFD임에도 두가지 소인수분해가 있다고 생각하면 곤란한데, $2+i = i(1 - 2i)$ 과 같이 유닛의 곱으로 표현될 수 있기 때문이다. 한편 $(2+i)$ 와 $(2-i)$, $(1 + i2)$ 와 $1 - i2$ 가 각각 켤레를 이루어서 가우스 소수가 되는 것을 확인할 수 있다.

증명

전략: $(Z[i] , N)$ 은 놈이 $N(x+iy) = x^2 + y^2$ 와 같이 정의된 가우시안 링이다. (단, $x, y \in \mathbb{Z}$) 가우스 소수 정리의 증명 자체는 이에 대한 대수적인 성질을 가져와 초등정수론의 여러 결과와 합친 것에 불과하나, 그 대수적인 성질과 여러 결과를 이해하는 것까지가 어렵다.

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Part 0. $| N( \pi ) | = p$ 가 소수면 $\pi$ 는 가우스 소수다.

승법적 놈의 성질: $p \in \mathbb{Z}$ 가 소수라고 하자.

• [1]: $D$ 에서 승법적 놈 $N$ 이 정의되면 $N(1) = 1$ 이고 모든 유닛 $u \in D$ 에 대해 $| N ( u ) | = 1$
• [2]: $| N ( \alpha )| =1$ 을 만족하는 모든 $\alpha \in D$ 가 $D$ 에서 유닛이면 $| N ( \pi ) | = p$ 를 만족하는 $\pi \in D$ 는 $D$ 에서 기약원이다.

가우시안 링의 성질:

• [3]: $\mathbb{Z}[i]$ 의 유닛은 $1,-1,i,-i$ 뿐이다.

[3]에 의해 $\mathbb{Z}[i]$ 의 유닛은 $1,-1,i,-i$ 뿐이고 [1]에 의해 $$N(1) = N(-1) = N(i) = N(-i) = 1$$ 이다. $| N ( \alpha )| =1$ 를 만족하는 모든 $\alpha$ 가 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 유닛이었으므로, [2]에 의해 $| N( \pi ) | = p$ 를 만족하는 $\pi$ 는 $\mathbb{Z}[i]$ 의 이리듀서블 엘리먼트가 된다. 다시 말해, $| N( \pi ) | = p$ 가 소수면 $\pi$ 는 가우스 소수다.

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Part (i). $\pi = 1 + i$

$\pi = 1 + i$ 이면 $N(\pi) = 1^2 + 1^2 = 2$ 는 소수이므로 Part 0에 의해 $\pi = 1 + i$ 는 가우스 소수다.

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Part (ii). $\pi \equiv 3 \pmod{4}$

$\pi = p$ 가 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 를 만족하는 $\mathbb{Z}$ 의 소수지만 $\mathbb{Z}[i]$ 의 가우스 소수가 아니어서 $\pi = ( a + ib )( c + id )$ 와 같은 소인수분해가 존재한다고 가정해보자. $N$ 의 승법적 성질에 따라 $$\begin{align*} p^2 =& \pi^2 + 0^2 \\ =& N ( \pi + i 0 ) \\ =& N ( a + ib ) N ( c + id ) \\ =& (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) \end{align*}$$ 정리하면 $p^2 = (a^2 + b^2) (c^2 + d^2)$ 인데, $p \in \mathbb{Z}$ 는 소수기 때문에 $\begin{cases} a^2 + b^2 = p \\ c^2 + d^2 = p \end{cases}$ 을 만족하는 솔루션이 존재해야한다.

소수를 4로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건: $p \ne 2$ 가 소수라고 하자. $p \equiv 1 \pmod{4}$ $\iff$ 어떤 $a,b \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $p = a^2 + b^2$

그러나 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 이므로 소수를 4로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건에 따라 $\begin{cases} a^2 + b^2 = p \\ c^2 + d^2 = p \end{cases}$ 를 만족하는 솔루션은 존재하지 않고, 이는 모순이므로 $\pi \equiv 3 \pmod{4}$ 는 가우스 소수다.

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Part (iii). $\pi = u + iv$

소수 $p \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 이므로 소수를 4로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건에 따라 $$N (\pi) = N ( u+ iv) = u^2 + v^2 = p$$ 을 만족시키는 $\pi = u + iv$ 는 Part 0에 따라 가우스 소수다.

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Part (iv). $i^{k} \pi$

위의 Part 0에서 $| N( \pi ) | = p$ 가 소수면 $\pi$ 는 가우스 소수였으므로, $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $$\begin{align*} N( i^{k} \pi ) =& N( i^{k} ) N (\pi ) \\ =& 1 \cdot N (\pi ) \\ =& p \end{align*}$$ 를 만족시키는 $i^{k} \pi$ 들도 역시 가우스 소수다.

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Part (v). $\overline{\pi}$

위의 Part 0에서 $| N( \pi ) | = x^2 + y^2 = p$ 가 소수면 $\pi = x + i y$ 는 가우스 소수였으므로 $$\begin{align*} N( \overline{\pi} ) =& N( x - i y ) \\ =& x^2 + (-y)^2 \\ =& p \end{align*}$$ 를 만족시키는 $\overline{\pi}$ 도 역시 가우스 소수다.

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