📂바나흐공간

균등 볼록성

정의¹

$(X, \left\| \cdot \right\|)$를 놈 공간이라고 하자. $\left\| \cdot \right\|$가 아래의 조건을 만족하면 $X$의 놈 $\left\| \cdot \right\|$가 균등하게 볼록하다^{uniformly convex}고 한다.

• $0 \lt \epsilon \le 2$인 모든 $\epsilon$에 대해서 양수 $\delta (\epsilon) \gt 0$가 존재해서 $x,y \in X$이고 $\| x \| = \|y\| = 1$, $\| x-y\| \ge \epsilon$이면 $\|( x+y)/2 \| \le 1-\delta (\epsilon)$을 만족한다.

이때 놈 공간 $X$ 자체도 균등하게 볼록하다고 한다. 만약 노머블 스페이스^{normable space}가 균등하게 볼록한 놈을 가지면 역시 균등하게 볼록하다고 말한다.

설명

주의해야 할 점은 $X$상에서 정의된 어떤 놈이 균등하게 볼록하다고 해서 다른 동치인 놈^{another equivalent norm}도 균등하게 볼록한 것은 아니라는 것이다.

정리

힐베트르 공간은 균등하게 볼록하다.

증명

$0< \epsilon \le 2$인 양수 $\epsilon$이 주어졌다고 하자. $H$는 힐베르트 공간이고 $x,y \in H$, $\| x\|=\| y\|=1$이고, $\| x-y\| \ge \epsilon$이라고 가정하자.

평행사변형 법칙(../1842)

$$\| x+ y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \left( \| x \|^2 + \| y \|^{2} \right)$$

$x, y$를 평행사변형 법칙에 대입하면

$$\| x+ y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \left( \| x \|^2 + \| y \|^{2} \right)$$

$$\implies \|x+y\|^2 =4-\|x-y\|^2\le 4-\epsilon^2$$

$$\implies \|x+y\|^2\le 4-\epsilon^2$$

정리하면

$$\| x+y\| \le \sqrt{4-\epsilon^2} \quad \implies \left\| \frac{x+y}{2} \right\| = \dfrac{1}{2}\|x+y \| \le \frac{1}{2}\sqrt{4-\epsilon^2}$$

이때 $0 \lt \epsilon \le 2$이므로 우변의 범위는 $0 \le \dfrac{1}{2}\sqrt{4-\epsilon^2} \lt 1$이다. 따라서 힐베르트 공간은 완비 공간이므로 $\epsilon$에 의존하는 어떤 양수 $\delta (\epsilon)$으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\left\| \frac{x+y}{2} \right\| \le 1-\delta (\epsilon)$$

■