📂해석개론

멱급수

정의¹

아래와 같이 변수 $x$에 대한 $n$차항을 무한히 더한 꼴을 멱급수^{power series}라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n} = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + \cdots + c_{n}x^{n} + \cdots$$

멱급수도 급수이므로 위의 표기는 다음과 같이 극한으로 정의된다.

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n} := \lim\limits_{m \to \infty} \sum\limits_{n=0}^{m} c_{n}x^{n}$$

좀 더 일반적으로, 중심^center이 $a$인 멱급수를 다음과 같이 정의한다.

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} ( x - a )^{n}$$

이때 $c_{n}$을 멱급수의 계수^coefficients라 한다. 본 글에서 $S(x) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} ( x - a )^{n}$와 같은 표기법을 사용하겠다.

• $S(x)$가 수렴하는 모든 $x$를 포함하는 집합을 수렴구간^{interval of convergence}이라 한다. 수렴구간의 반지름을 수렴반경^{radius of convergence}이라 한다.
• 수렴구간 $[\beta_{1}, \beta_{2}] \subset (\alpha_{1}, \alpha_{2})$ 에서 $a \in (\beta_{1}, \beta_{2})$ 을 중심으로 하는 멱급수 $\sum \limits_{k=0}^{\infty} c_{n} ( x - a )^{n} = f(x)$ 가 존재하면 $f$ 가 $(\alpha_{1}, \alpha_{2})$ 에서 해석적^analytic이라 한다.
• 모든 $n$ 에 대해서 $c_{n} = d_{n}$ 이 성립하면 두 멱급수 $\sum \limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0) ^n$와 $\sum \limits_{n=0}^\infty d_n(x-x_0) ^n$가 같다고 한다.
• $c_0 = c_1 = c_2 = \cdots = 0$ 이면 $\sum \limits_{n=0}^\infty c_n(x - a)^{n}=0,\quad \forall x$

설명

쉽게 말해서 멱급수란, 무한 차수의 다항함수이다.

해석학을 학부 때 처음 접해서 배우는 입장에선 왜 ‘미적분학’과 ‘해석학’이 분리되어 있으며, 해석학에서는 왜 그렇게까지 수열이나 급수에 집착하는지 이해가 되지 않을 수 있다. 그래도 흥미를 잃지 않고 멱급수까지 공부했다면 단편적이나마 힌트를 얻을 수 있을 것이다.

당장 해석학을 배우는 이유가 무엇이냐고 묻는다면 ‘어려운 함수를 쉬운 함수로 끌어내리기 위해서’라고 답해도 무방하다. 예로써 초월함수는 어렵지만 다항함수는 쉽다. 만약 그 초월함수가 해석적이라면 다행스러운 일이다. 해석적인 함수란 급수전개할 수 있는 함수고, 급수전개가 가능한 함수란 곧 다항함수의 합으로 풀어헤칠 수 있는 함수라는 뜻이기 때문이다.

멱급수는 기초 해석학에서 중히 다뤄지는 개념으로써 특히 수렴성에 많은 조건이 붙어있다. 제약이 많은만큼 좋은 성질도 많이 가지며, 무한급수임에도 소위 ‘상식적’으로 다루기 좋다.

정리

• (a) $R := \lim\limits_{n \to \infty} \left| \dfrac{c_{n}}{c_{n+1}} \right|$가 존재하면 $R$은 $S(x)$ 의 수렴반경이다.

• (b) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 모든 $x \notin [ a - R , a + R ]$ 상에서 발산한다.

• (c) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 모든 $x \in ( a - R , a + R )$ 에 대해 절대수렴한다.

• (d) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 모든 $[\alpha, \beta] \subset ( a - R , a + R )$ 상에서 균등수렴한다.

• (e) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 $( a - R , a + R )$ 상에서 연속이다.

• (f) 수렴반경 $R > 0$ 이 존재하면 $S(x)$ 는 $( a - R , a + R )$ 상에서 무한번 미분가능하고

  $$S^{(k)} (x) = \sum \limits_{n=k}^{\infty} {{n!} \over {(n-k)!}} c_{n} (x - a)^{n-k}$$

• (g) $S(x)$ 가 $[\alpha, \beta]$ 상에서 수렴하면 $[\alpha, \beta]$ 에서 적분가능하고 $$\int_{\alpha}^{\beta} S(x) dx = \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} \int_{\alpha}^{\beta} (x - a)^{n} dx$$

같이보기

• 생성함수