📂전자기학

자기장 속의 에너지

설명¹

전하 분포가 만드는 전기장의 에너지를 생각 했듯이 전류 분포가 만드는 자기장의 에너지를 생각할 수 있다. 회로에 전류를 흐르게 하면 에너지가 들어간다. 이 에너지의 정체는 바로 역기전력을 거슬러 하는 일이다. 역기전력 때문에 회로에 흐르는 전류에 변화를 주기 어렵다. 따라서 단위 전하가 회로를 한 바퀴 돌려면 역기전력 $-\mathcal{E}$ 만큼의 일을 해주어야 한다. 전류의 정의가 단위 시간 동안 도선을 지나는 전하량이므로 단위 시간 동안 한 일의 양은

$$ \dfrac{d W}{dt}=-\mathcal{E}I=LI\dfrac{dI}{dt} $$

전류가 $0$인 상태에서 $I$가 될 때까지의 시간 구간 만큼 양 변에 적분을 취해주자. 그러면 그 동안 해준 일은

$$ \begin{equation} \int dW = \int LI dI \quad \implies \quad W=\dfrac{1}{2}LI^{2} \end{equation} $$

이는 전류가 흐른 시간과는 무관한 값이다. 오직 고리의 기하학적인 특성$(L)$과 마지막 전류 값$(I)$에만 의존한다. 고리를 지나는 선속은 자체 인덕턴스와 비례하므로

$$ \Phi=LI $$

한편, 자기장의 벡터 전위 를 이용해 선속을 직접 계산하면

$$ \Phi = \int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a} = \int ( \nabla \times \mathbf{A} ) \cdot d\mathbf{a} = \oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l} $$

마지막 등호에서 스토크스 정리를 사용하였다. 따라서

$$ LI=\oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l} $$

위 결과를 $(1)$에 대입하면

$$ W=\dfrac{1}{2}I \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}=\dfrac{1}{2} \oint (\mathbf{A} \cdot \mathbf{I}) dl $$

마지막 등호는 전류의 방향과 선적분의 방향이 둘 다 같기 때문에 성립한다. 둘 다 도선을 따라가는 방향이므로 당연히 같다. 이를 부피전류로 나타내면

$$ W=\dfrac{1}{2} \int ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{J} ) d\tau $$

위에서 얻은 식을 다양한 방법을 통해서 $W$를 자기장 $\mathbf{B}$로만 나타내는 것이 최종 목표이다. 앙페르 법칙 $\nabla \times \mathbf{B} =\mu_{0} \mathbf{J}$를 사용하면

$$ W=\dfrac{1}{2\mu_{0}} \int \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B} ) d\tau $$

델 연산자가 포함된 식의 부분적분

$$ \int_{\mathcal{V}} \mathbf{A} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) d\tau = \int_{\mathcal{V}} \mathbf{B} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \left( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \right) \cdot d \mathbf{a} $$

곱셈 규칙을 이용해 부분적분을 구하면

$$ \begin{align*} W &= \dfrac{1}{2\mu_{0}} \left( \int _\mathcal{V} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B}d\tau -\oint_\mathcal{S} (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \cdot d\mathbf{a} \right) \\ &= \dfrac{1}{2\mu_{0}} \left( \int _\mathcal{V} B^{2} d\tau -\oint_\mathcal{S} (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \cdot d\mathbf{a} \right) \end{align*} $$

좌변은 일의 양으로 고정된 상수이다. 따라서 우변의 부피적분의 값이 커지면 면적분의 값이 작아져야 한다.(전기장의 에너지를 구할 때 같은 방법을 썼다) 적분 영역을 마음대로 늘려도 되는 이유는 어차피 전류가 흐르지 않는 영역에서는 $\mathbf{J}=0$이고 원래 값에서 $0$을 더해도 같은 값이기 때문이다. 따라서 전체 공간에 대해서 적분하면 면적분의 값은 점점 작아져 $0$이 되고

$$ W=\dfrac{1}{2\mu_{0}} \int_{\mathrm{total\ space}} B^{2} d\tau $$

위 식이 의미하는 바는 에너지가 자기장 속에 저장되고 그 밀도는 $\frac{1}{2\mu_{0}}B^{2}$이라는 것이다.