📂소볼레프공간

소볼레프 놈과 소볼레프 공간

정의¹

소볼레프 공간

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 양의 정수 $m$과 $1\le p \le \infty$에 대해서 다음과 같이 정의되는 함수 공간을 소볼레프 공간^{Sobolev space}이라 한다.

$$W^{m, p}(\Omega):=\left\{ u \in L^{p}(\Omega) : D^\alpha u \in L^{p}(\Omega)\quad \forall 0\le |\alpha | \le m \right\}$$

$\alpha$는 멀티 인덱스, $D^\alpha u$는 약 도함수, $L^{p}$는 르벡 공간이다.

소볼레프 놈

양의 정수 $m$과 $1\le p \le \infty$에 대해서 함수 $\left\| \cdot \right\|_{m,p}$를 다음과 같이 정의하자.

$$\|u\|_{m,p} =\left( \sum\limits_{0\le |\alpha| \le m } \|D^\alpha u \|^p_{p} \right)^{\frac{1}{p}}, \quad 1\le p<\infty$$

$$\|u\|_{m,\infty}= \max\limits_{0\le |\alpha| \le m} \|D^\alpha u\|_\infty, \quad p=\infty$$

이는 소볼레프 공간의 놈이 된다.

설명

쉽게 말하자면, 소볼레프 공간이란 $m$번째 도함수까지 모두 $L^{p}$인 함수들의 집합이다. $L^{p}$ 공간은 유용한 성질을 가지는 중요한 공간이지만 미분 방정식을 풀기에는 조금 부족할 수 있다. $L^{p}$ 공간 보다 더 많은 성질을 가지는 공간에 대해서 생각할 필요가 있고 그것이 바로 소볼레프 공간 이다.

명백하게 $m=0$이면 $W^{0, p}=L^{p}$이다. 또한 $C_{0}^\infty$가 $L^{p}$에서 조밀하기 때문에 $1 \le p < \infty$일 때 $W_{0}^{0,\ p}=L^P$이다. 또한 아래와 같은 임베딩이 존재해서 $W^{m, p}$를 $L^{p}$의 부분공간으로 취급할 수 있다.

$$W_{0}^{m, p}(\Omega) \to W^{m, p}(\Omega) \to L^{p}(\Omega)$$

다음의 세 함수공간은 모두 소볼레프 놈 $\left\| \cdot \right\|_{m,p}$을 놈으로 갖는다. 양의 정수 $m$과 $1\le p \le \infty$에 대해서,

$$\begin{equation} W^{m, p}(\Omega):=\left\{ u \in L^{p}(\Omega) : D^\alpha u \in L^{p}(\Omega)\quad \forall 0\le |\alpha | \le m \right\} \end{equation}$$

$$\begin{equation} H^{m, p}(\Omega):= \text{the completion of } \left\{ u \in C^m(\Omega) : \|u\|_{m, p} < \infty \right\} \end{equation}$$

$$\begin{equation} W_{0}^{m, p}(\Omega):= \text{the closure of } C^\infty_{0}(\Omega) \text{ in } W^{m, p}(\Omega) \end{equation}$$

이때 $(1)$~$(3)$을 소볼레프 공간이라 한다. $H^{m, p}$와 $W^{m, p}$는 실제로 같음을 보일 수 있다.

소볼레프 공간의 표기로 쓰이는 기호로는 $H^{m, p}, W^{m, p}, P^{m, p}, L_{p}^{m}$ 등이 있다. 또한 소볼레프 공간이라는 이름이 굳어지기 전에는 베포 레비 공간^{Beppo Levi space}이라고 불리기도 했다.

성질

(a) 소볼레프 공간은 바나흐 공간이다.

(b) $1\le p <\infty$일 때, 소볼레프 공간은 분리가능하다.

(c) $1\le p < \infty$일 때, 소볼레프 공간은 반사적이고 균등 볼록하다.