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フーリエ級数の定積分 📂フーリエ解析

フーリエ級数の定積分

定理

周期が2L2Lの周期関数ffが区間[−L, L)[-L,\ L)でピースワイズ連続だとする。そうすると、ffの定積分は以下のように表せる。

∫t1t2f(t)dt=c0(t2−t1)+∑n≠0Linπcn(einπt2L−einπt1L) \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt= c_{0}(t_{2}-t_{1}) +\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n}\left( e^{i\frac{n\pi t_{2}}{L}}-e^{i\frac{n\pi t_{1}}{L}} \right)

この時、c0, cnc_{0},\ c_{n}は複素フーリエ係数である。

つまり、f(t)f(t)の定積分はf(t)f(t)のフーリエ級数の各項を定積分して足したものと同じである。右辺が左辺のフーリエ級数ではないことに注意が必要である。

証明

関数FFを以下のように定義する。

F(t):=∫0tf(s)ds−c0t F(t):= \int_{0}^t f(s)ds-c_{0}t

すると、FFが周期が2L2Lの周期関数であることが示せる。

F(t+2L)=∫0t+2Lf(s)ds−c0(t+2L)=∫0tf(s)ds+∫t2Lf(s)ds−c0t−2Lc0=∫0tf(s)ds−c0t=F(t) \begin{align*} F(t+2L) &= \int_{0}^{t+2L} f(s)ds - c_{0}(t+2L) \\ &= \int_{0}^t f(s)ds+\int_{t}^{2L}f(s)ds - c_{0}t -2Lc_{0} \\ &= \int_{0} ^t f(s)ds-c_{0}t=F(t) \end{align*}

ffがピースワイズ連続であるので、FFは連続である。したがって、FFはディリクレ条件を満たし、フーリエ級数に展開できる。

F(t)=C0+∑n≠0CneinπLt F(t)=C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} C_{n}e^{i\frac{n\pi}{L}t}

定数項を別にする理由は後でわかる。係数を求めると、

Cn=12L∫−LLF(t)e−inπLtdt=−Linπ12L[F(t)einπLt]−LL+Linπ12L∫−LLF′(t)e−inπLtdt=Linπ12L∫−LL(f(t)−c0)e−inπLtdt=Linπ12L∫−LLf(t)e−inπLtdt−Linπc02L∫−LLe−inπLtdt=Linπ12L∫−LLf(t)e−inπLtdt=Linπcn \begin{align*} C_{n}&=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} F(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t} dt \\ &= \dfrac{-L}{in\pi} \dfrac{1}{2L} \left[ F(t)e^{i\frac{n\pi}{L}t} \right]_{-L}^{L} +\dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} F^{\prime}(t)e^{-i\frac{n\pi }{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( f(t)-c_{0} \right) e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt -\dfrac{L}{in\pi}\dfrac{c_{0}}{2L} \int_{-L}^{L} e^{-i\frac{n\pi}{L}t} dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \end{align*}

したがって、

F(t)=C0+∑n≠0LinπcneinπLt F(t)=C_{0} +\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t}

F(t)F(t)の定義を用いてf(t)f(t)の定積分を求めると、

∫t1t2f(t)dt=∫0t2f(t)dt−∫0t1f(t)dt=F(t2)−F(t1)+c0(t2−t1)=(C0+∑n≠0LinπcneinπLt2)−(C0+∑n≠0LinπcneinπLt1)+c0(t2−t1)=c0(t2−t1)+∑n≠0Linπcn(einπLt2−einπLt1) \begin{align*} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt &= \int_{0}^{t_{2}} f(t) dt -\int_{0}^{t_{1}} f(t)dt \\ &= F(t_{2})- F(t_{1}) + c_{0}(t_{2}-t_{1}) \\ &= \left( C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}} \right) -\left( C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right) +c_{0}(t_{2}-t_{1}) \\ &= c_{0}(t_{2}-t_{1}) + \sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \left( e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}}-e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right) \end{align*}

■

文書の先頭でも述べた通り、右辺が∫t1t2f(t)dt\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)dtのフーリエ級数ではないことに注意しよう。∫t1t2f(t)dt−c0(t2−t1)\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt -c_{0}(t_{2}-t_{1})のフーリエ級数は∑n≠0Linπcn(einπLt2−einπLt1)\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \left( e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}}-e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right)である。