フーリエ級数の定積分
定理
周期が$2L$の周期関数$f$が区間$[-L,\ L)$でピースワイズ連続だとする。そうすると、$f$の定積分は以下のように表せる。
$$ \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt= c_{0}(t_{2}-t_{1}) +\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n}\left( e^{i\frac{n\pi t_{2}}{L}}-e^{i\frac{n\pi t_{1}}{L}} \right) $$
この時、$c_{0},\ c_{n}$は複素フーリエ係数である。
つまり、$f(t)$の定積分は$f(t)$のフーリエ級数の各項を定積分して足したものと同じである。右辺が左辺のフーリエ級数ではないことに注意が必要である。
証明
関数$F$を以下のように定義する。
$$ F(t):= \int_{0}^t f(s)ds-c_{0}t $$
すると、$F$が周期が$2L$の周期関数であることが示せる。
$$ \begin{align*} F(t+2L) &= \int_{0}^{t+2L} f(s)ds - c_{0}(t+2L) \\ &= \int_{0}^t f(s)ds+\int_{t}^{2L}f(s)ds - c_{0}t -2Lc_{0} \\ &= \int_{0} ^t f(s)ds-c_{0}t=F(t) \end{align*} $$
$f$がピースワイズ連続であるので、$F$は連続である。したがって、$F$はディリクレ条件を満たし、フーリエ級数に展開できる。
$$ F(t)=C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} C_{n}e^{i\frac{n\pi}{L}t} $$
定数項を別にする理由は後でわかる。係数を求めると、
$$ \begin{align*} C_{n}&=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} F(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t} dt \\ &= \dfrac{-L}{in\pi} \dfrac{1}{2L} \left[ F(t)e^{i\frac{n\pi}{L}t} \right]_{-L}^{L} +\dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} F^{\prime}(t)e^{-i\frac{n\pi }{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \left( f(t)-c_{0} \right) e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt -\dfrac{L}{in\pi}\dfrac{c_{0}}{2L} \int_{-L}^{L} e^{-i\frac{n\pi}{L}t} dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}\dfrac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-i\frac{n\pi}{L}t}dt \\ &= \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \end{align*} $$
したがって、
$$ F(t)=C_{0} +\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t} $$
$F(t)$の定義を用いて$f(t)$の定積分を求めると、
$$ \begin{align*} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt &= \int_{0}^{t_{2}} f(t) dt -\int_{0}^{t_{1}} f(t)dt \\ &= F(t_{2})- F(t_{1}) + c_{0}(t_{2}-t_{1}) \\ &= \left( C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}} \right) -\left( C_{0}+\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right) +c_{0}(t_{2}-t_{1}) \\ &= c_{0}(t_{2}-t_{1}) + \sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \left( e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}}-e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right) \end{align*} $$
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文書の先頭でも述べた通り、右辺が$\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)dt$のフーリエ級数ではないことに注意しよう。$\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t) dt -c_{0}(t_{2}-t_{1})$のフーリエ級数は$\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L}{in\pi}c_{n} \left( e^{i\frac{n\pi}{L}t_{2}}-e^{i\frac{n\pi}{L}t_{1}} \right)$である。