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量子力学における水素原子の最小エネルギー 📂量子力学

量子力学における水素原子の最小エネルギー

定理

水素原子の最小エネルギーは次の通りだ。

Emin=−12mc2α2 E_{min}=-\frac{1}{2}mc^2\alpha^{2}

mmは水素原子の質量、ccは光速、α\alphaは微細構造定数だ。

説明

ここで、α\alphaはα=e2ℏc\alpha = \dfrac{e^2}{\hbar c}のように定義される微細構造定数fine structure constantであり、その値はα≃1137\alpha\simeq\dfrac{1}{137}だ。

証明

水素原子のエネルギーEEは

E=p22m−e2r=12mℏ2r2−e2r \begin{align*} E &= \frac{p^2}{2m}-\frac{e^2}{r} \\ &= \frac{1}{2m}\frac{{\hbar}^2}{r^2}-\frac{e^2}{r} \end{align*}

不確定性原理により pr≃ℏpr \simeq \hbar EEが最小である場合を求めるためには ∂E∂r∣r=r0=0−ℏ2mr03+e2r02=0−ℏ2m+e2r0=0r0=ℏ2me2 \left. \frac{\partial E}{\partial r} \right|_{r=r_{0}}=0 -\frac{{\hbar}^2}{m{r_{0}}^3}+\frac{e^2}{{r_{0}}^2}=0 -\frac{{\hbar}^2}{m}+e^2r_{0}=0 r_{0}=\frac{{\hbar}^2}{me^2}

  ⟹  Emin=ℏ22mm2e4ℏ4−me4ℏ2=me42ℏ2−me4ℏ2=−12me4ℏ2=−12me4c2ℏ2c2=−12mc2α2 \begin{align*} \implies E_{min} &= \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{m^2e^4}{{\hbar}^4}-\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= \frac{me^4}{2{\hbar}^2}-\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= -\frac{1}{2}\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= -\frac{1}{2}\frac{me^4{\color{blue}{c^2}}}{{\hbar}^2{\color{blue}{c^2}}} \\ &= -\frac{1}{2}mc^2\alpha ^2 \end{align*}

よって、水素原子の最小エネルギーは

Emin=−12mc2α2 E_{min}=-\frac{1}{2}mc^2\alpha ^2

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