束縛電荷と偏極された物体が生成する電場
結合電荷
外部電場によって物体の双極子が一方向に整列し、このために物体は偏極し、双極子モーメント$\mathbf{p}$を持つ。双極子モーメントが作り出す電場は以下のように計算される。双極子モーメント$\mathbf{p}$が作る電位は次の通りだ。
$$ \begin{equation} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{ \mathbf{p} \cdot \crH } {\cR ^2} \label{1} \end{equation} $$
$\mathbf{r}^{\prime}$は源点の位置ベクター、$\mathbf{r}$は観測点の位置ベクター、$\bcR=\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}$は分離ベクターだ。偏極密度$\mathbf{P}$は単位体積あたりの双極子モーメントなので
$$ \mathbf{P}=\dfrac{\mathbf{p}}{d \tau^{\prime}} $$
これを$\eqref{1}$に代入すると
$$ V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \displaystyle \int _\mathcal{V} \dfrac{ \mathbf{P (\mathbf{r}^{\prime} ) \cdot \hat { \boldsymbol {\cR} } } }{\cR ^2} d \tau^{\prime} $$
ここで$\nabla ^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) = \dfrac{ \crH } {\cR^2}$を使うと、上の式は次のようになる。
$$ V=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \displaystyle \int _\mathcal{V} \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) d \tau^{\prime} $$
$$ \nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f) $$
上の乗法則を使用すると
$$ \begin{align*} && \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{P} } {\cR} \right) =&\ \dfrac{1}{\cR} ( \nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) + \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) \\ \implies && \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) =&\ \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{P} } {\cR} \right) -\dfrac{1}{\cR} ( \nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) \end{align*} $$
なので、これを代入すると
$$ V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_\mathcal{V} \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{ P} }{\cR} \right) d\tau^{\prime} -\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{1}{\cR} (\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) d\tau^{\prime} $$
$$ \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{ F} dV = \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{ S} $$
ここで第一項に発散定理を使用すると
$$ V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \oint_\mathcal{S} \left( \dfrac{ \mathbf{ P} }{\cR} \right) \cdot d\mathbf{a}^{\prime} -\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{1}{\cR} (\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) d\tau^{\prime} $$
単位面積の法線ベクターを$\hat { \mathbf{n} }$とすると、$\mathbf{P} \cdot d\mathbf{a}^{\prime}=\mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} } da^{\prime}$と表せる。ここで$\mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} }$を$\sigma_{b}$と表記し、結合表面電荷密度と呼ぶ。
$$ \sigma_{b} = \mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} } $$
同様に$-\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P}$を$\rho_{b}$と表記し、結合体積電荷密度と呼ぶ。
$$ \rho_{b}=-\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} $$
これで、偏極密度$\mathbf{P}$による電位を、これら二つの結合電荷が作り出す電位として表現できる。
$$ V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \oint_\mathcal{S} \dfrac{ \sigma_{b}} {\cR} da^{\prime}+\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_\mathcal{V} \dfrac{\rho_{b}}{\cR} d\tau^{\prime} $$
偏極した物体が作り出す電位は、結合体積電荷密度$\rho_{b}$と結合表面電荷密度$\sigma_{b}$が作り出す電位の合計と同じだ。
特徴
全ての結合電荷を合算すると$0$になる。電気的に中性な誘電体を偏極させると電荷が動き結合電荷が生じるが、全体の電荷量は依然として$0$である。
偏極密度が均一の時、結合体積電荷密度は$0$となる。$\rho_{b}=-\nabla \cdot \mathbf{P}$であるから、$\mathbf{P}$が一定であれば、微分した結果は$0$となる。