連続関数はリーマン-スティルチェス可積分である
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この記事はリーマン・スティルチェス積分を基準に書かれている。$\alpha=\alpha (x)=x$と設定した場合、リーマン積分と同じである。
定理
関数$f$が$[a,b]$で連続であれば、$[a,b]$でリーマン（-スティルチェス）積分可能である。
証明
$\epsilon >0$が与えられたとしよう。そして、$\left[ \alpha (b) - \alpha (a) \right] \eta < \epsilon$を満たす$\eta>0$を選んだとしよう。$[a,b]$は閉じており有界なのでコンパクトであり、コンパクト集合上の連続関数は一様連続であるから、$f$は一様連続である。したがって、一様連続の定義により、下記の式が成立する$\delta >0$が存在する。
$$ |x-t|<\delta \implies |f(x)-f(t)|<\eta\quad \forall x, t \in [a,b] $$
一様連続の定義により、$\eta$の位置にどんな正数を入れても満たすので、私たちが上で選んだ$\eta$も当然満たす。
$[a,b]$の分割 $P$が$\Delta x_{i} <\delta (i=1,\cdots,n)$を満たすように与えられたとしよう。また、次のようにしよう。
$$ M_{i}=\sup\limits_{[x_{i-1},x_{i}]}f(x) \quad \text{and} \quad m_{i}=\inf\limits_{[x_{i-1},x_{i}]}f(x) $$
すると、$f$が一様連続であるという条件によって、次が成立する。
$$ M_{i}-m_{i} \le \eta \quad (i=1,\cdots,n) $$
すると、次の式を得る。
$$ \begin{align*} U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) &= \sum \limits_{i=1}^n (M_{i}-m_{i})\Delta \alpha_{i} \\ & \le \sum \limits _{i=1} ^n \eta \Delta \alpha_{i} \\ &= \eta \sum \limits_{i=1}^n \Delta \alpha_{i} \\ &= \eta \left[ \big( \alpha ( x_{2}) -\alpha (a) \big) + \cdots + \big( \alpha ( b) -\alpha (x_{n-1}) \big)\right] \\ &=\eta \left[ \alpha ( b) - \alpha (a) \right] \\ &< \epsilon \end{align*} $$
証明の最初の部分で、$\eta$を選ぶ際、最後の式を満たすように$\eta$を選んだので、最後の行が成立するのは当然である。この式は積分可能である同値条件なので、$f$は積分可能である。
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