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連続関数はリーマン-スティルチェス可積分である 📂解析学

連続関数はリーマン-スティルチェス可積分である

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この記事はリーマン・スティルチェス積分を基準に書かれている。α=α(x)=x\alpha=\alpha (x)=xと設定した場合、リーマン積分と同じである。

定理

関数ff[a,b][a,b]連続であれば、[a,b][a,b]でリーマン(-スティルチェス)積分可能である。

証明

ϵ>0\epsilon >0が与えられたとしよう。そして、[α(b)α(a)]η<ϵ\left[ \alpha (b) - \alpha (a) \right] \eta < \epsilonを満たすη>0\eta>0を選んだとしよう。[a,b][a,b]閉じており有界なのでコンパクトであり、コンパクト集合上の連続関数は一様連続であるからffは一様連続である。したがって、一様連続の定義により、下記の式が成立するδ>0\delta >0が存在する。

xt<δ    f(x)f(t)<ηx,t[a,b] |x-t|<\delta \implies |f(x)-f(t)|<\eta\quad \forall x, t \in [a,b]

一様連続の定義により、η\etaの位置にどんな正数を入れても満たすので、私たちが上で選んだη\etaも当然満たす。

[a,b][a,b]分割 PPΔxi<δ(i=1,,n)\Delta x_{i} <\delta (i=1,\cdots,n)を満たすように与えられたとしよう。また、次のようにしよう。

Mi=sup[xi1,xi]f(x)andmi=inf[xi1,xi]f(x) M_{i}=\sup\limits_{[x_{i-1},x_{i}]}f(x) \quad \text{and} \quad m_{i}=\inf\limits_{[x_{i-1},x_{i}]}f(x)

すると、ffが一様連続であるという条件によって、次が成立する。

Mimiη(i=1,,n) M_{i}-m_{i} \le \eta \quad (i=1,\cdots,n)

すると、次の式を得る。

U(P,f,α)L(P,f,α)=i=1n(Mimi)Δαii=1nηΔαi=ηi=1nΔαi=η[(α(x2)α(a))++(α(b)α(xn1))]=η[α(b)α(a)]<ϵ \begin{align*} U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) &= \sum \limits_{i=1}^n (M_{i}-m_{i})\Delta \alpha_{i} \\ & \le \sum \limits _{i=1} ^n \eta \Delta \alpha_{i} \\ &= \eta \sum \limits_{i=1}^n \Delta \alpha_{i} \\ &= \eta \left[ \big( \alpha ( x_{2}) -\alpha (a) \big) + \cdots + \big( \alpha ( b) -\alpha (x_{n-1}) \big)\right] \\ &=\eta \left[ \alpha ( b) - \alpha (a) \right] \\ &< \epsilon \end{align*}

証明の最初の部分で、η\etaを選ぶ際、最後の式を満たすようにη\etaを選んだので、最後の行が成立するのは当然である。この式は積分可能である同値条件なので、ffは積分可能である。