連続関数はリーマン-スティルチェス可積分である
📂解析学連続関数はリーマン-スティルチェス可積分である
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この記事はリーマン・スティルチェス積分を基準に書かれている。α=α(x)=xと設定した場合、リーマン積分と同じである。
定理
関数fが[a,b]で連続であれば、[a,b]でリーマン(-スティルチェス)積分可能である。
証明
ϵ>0が与えられたとしよう。そして、[α(b)−α(a)]η<ϵを満たすη>0を選んだとしよう。[a,b]は閉じており有界なのでコンパクトであり、コンパクト集合上の連続関数は一様連続であるから、fは一様連続である。したがって、一様連続の定義により、下記の式が成立するδ>0が存在する。
∣x−t∣<δ⟹∣f(x)−f(t)∣<η∀x,t∈[a,b]
一様連続の定義により、ηの位置にどんな正数を入れても満たすので、私たちが上で選んだηも当然満たす。
[a,b]の分割 PがΔxi<δ(i=1,⋯,n)を満たすように与えられたとしよう。また、次のようにしよう。
Mi=[xi−1,xi]supf(x)andmi=[xi−1,xi]inff(x)
すると、fが一様連続であるという条件によって、次が成立する。
Mi−mi≤η(i=1,⋯,n)
すると、次の式を得る。
U(P,f,α)−L(P,f,α)=i=1∑n(Mi−mi)Δαi≤i=1∑nηΔαi=ηi=1∑nΔαi=η[(α(x2)−α(a))+⋯+(α(b)−α(xn−1))]=η[α(b)−α(a)]<ϵ
証明の最初の部分で、ηを選ぶ際、最後の式を満たすようにηを選んだので、最後の行が成立するのは当然である。この式は積分可能である同値条件なので、fは積分可能である。
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