ユークリッド幾何学
定義 1
整域 $D$ で以下の二つの条件を満たす ユークリッドノルム $\nu : D \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{N}_{0}$ が存在する場合、$D$ をユークリッド整域と言う。
- (i): すべての $a,b \in D (b \ne 0 )$ に対して $$ a = bq + r $$ を満たす $q$ と $r$ が存在する。この時、$r = 0$ または $\nu (r) < \nu (b)$ のどちらかでなければならない。
- (ii): すべての $a,b \in D (b \ne 0 )$ に対して $\nu ( a ) \le \nu ( ab )$
- $\mathbb{N}_{0}$ は自然数の集合に $0$ を含む集合を意味する。
定理
ユークリッド整域 $D$ の単位元を $0$、単位元を $1$, ユークリッドノルムを $\nu$ としよう。
- [3]: $0$ ではないすべての $d \in D$ に対して $\nu (1) \le \nu (d)$
- [4]: $u \in D$ は単位元 $\iff$ $\nu ( u ) = \nu (1)$
説明
「ユークリッド整域」という言葉はそれほど長くないが、通常EDという略称がよく使われる。
条件 (i) と (ii) は整数環 $\mathbb{Z}$ では自然に満たされている条件で、ユークリッドノルム $\nu ( n ) := | n |$ が存在して $\mathbb{Z}$ はユークリッド整域になる。もともとユークリッドノルムという言葉自体が数論のユークリッドの互除法から来ているのだ。
一方、体 $F$ に対して $F [ x ]$ を考えると、ユークリッドノルム $\nu ( f(x) ) : = \deg ( f(x) )$ を定義することによってユークリッド整域になる。もともと割り算の定理がこの条件に該当する。
上のように様々な整域を図示すると、EDがどれだけ多くの良い性質を持っているか簡単にわかる。
証明
1
$D$ のイデアルを $N$ としよう。
$N = \left\{ 0 \right\} = \left< 0 \right>$ は自然に主理想なので、$N \ne \left\{ 0 \right\}$ を考えよう。
$0$ ではないすべての $n \in N$ に対して、 $$ \nu (b) \le \nu (n) $$ を満たす $b \ne 0$ を見つけることができる。これを$a \in N$ とすると、条件 (i) により $$ a = b q + r $$ を満たす $q,r \in D$ が存在しなければならない。$N = Nq$ はイデアルなので、$r = a - bq$ も $N$ に存在する元であることがわかる。$b$ は$\nu (b)$ を最小にする元だったので、条件 (ii) により $r=0$ でなければならない。すべての元 $a \in N$ が $a = bq$ として表されるということはつまり $N = \left< b \right>$ であり、すべてのイデアル $N$ は主理想である。
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2
EDはPIDであり、PIDはUFDなので、EDもUFDである。
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[3]
条件 (ii) により $$ \nu (1) \le \nu ( 1 d) = \nu (d) $$
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[4]
$( \implies )$
$u$ が単位元なので、その逆元 $u^{-1}$ が存在して $$ \nu ( u ) \le \nu ( u u^{-1} ) = \nu (1) $$ そして、定理 [3] により $\nu (1) \le \nu (1)$ よって $$ \nu ( u ) = \nu (1) $$
$( \impliedby )$
$1 = uq + r$ とすると、定理 2 により、$\nu ( u) = \nu (1)$ は $\nu (0)$ を除いて最小である。定理 [3] により、$\nu ( r) < \nu (u)$ を満たす場合は $r=0$ のみで、$1 = uq$ となり、$u$ は単位元となる。
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参照
Fraleigh. (2003). 「抽象代数入門(第7版)」: p401. ↩︎