リーマン（-スティルチェス）積分可能の必要十分条件
この記事は、リーマン-シュティルチェス積分を基に書かれている。$\alpha=\alpha (x)=x$とすれば、リーマン積分と同じだ。
定理1
関数$f$が$[a,b]$でリーマン(-シュティルチェス)積分可能であるための必要十分条件は、全ての$\epsilon >0$に対して、$U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$を満たす$[a,b]$の分割$P$が存在することである。
$$ \begin{equation} f \in \mathscr{R} (\alpha) \text{ on } [a,b] \\ \iff \forall\epsilon >0, \exists P\text{ s.t. } U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon \end{equation} $$
積分可能性を示す際に実際に使われる条件である。
証明
以下が与えられているとしよう。
$(\implies)$
$f$がリーマン(-シュティルチェス)積分可能な関数であると仮定しよう。$\epsilon > 0$が与えられたとする。すると、下積分と積分の定義によって、全ての分割$P$に対して次が成り立つ。
$$ L(P,f,\alpha) \le \underline{\int _{a}^{b}} f d\alpha = \int _{a} ^{b} f d\alpha $$
よって、次を満たす分割$P_{1}$が存在する。
$$ \begin{equation} \int _{a} ^{b} f d\alpha - L(P_{1},f,\alpha) < \frac{\epsilon}{2} \end{equation} $$
同様に次も成り立つ。
$$ \int _{a} ^{b} f d\alpha = \overline {\int _{a} ^{b}} f d\alpha \le U(P,f,\alpha) $$
よって、次を満たす分割$P_{2}$が存在する。
$$ \begin{equation} U(P_2,f,\alpha) - \int _{a}^{b} f d\alpha < \frac{\epsilon}{2} \end{equation} $$
今、$P^{\ast}$を$P_{1}$と$P_{2}$の共通細分としよう。すると、細分の上(下)合は分割よりも小さく(大きく)、$(2)$、$(3)$によって次が成り立つ。
$$ \begin{align*} U(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P_2,f,\alpha) \\ &\lt {\color{blue}\int _{a} ^{b} f d\alpha} + \frac{\epsilon}{2} \\ &\lt {\color{blue} L(P_{1},f,\alpha) + \frac{\epsilon}{2} } + \frac{\epsilon}{2} \\ &= L(P_{1},f,\alpha) + \epsilon \\ &\le L(P^{\ast},f,\alpha) + \epsilon \end{align*} $$
よって、$U(P^{\ast},f,\alpha)-L(P^{\ast},f,\alpha) < \epsilon$を満たす分割$P^{\ast}$が存在する。
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$(\impliedby)$
全ての$\epsilon >0$に対して、$U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$を満たす$[a,b]$の分割$P$が存在すると仮定しよう。上積分、下積分の定義によって次の式が成り立つ。
$$ L(P,f,\alpha) \le \underline {\int _{a} ^{b}} f d\alpha \le \overline{ \int _{a} ^{b}}f d\alpha \le U(P,f,\alpha) $$
この時$A<B<C<D$であれば$C-B<D-A$であるので、仮定と上の式を利用して次のような式を得る。
$$ 0 \le \overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha -\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha < \epsilon $$
全ての正数$\epsilon$に対してこの式が満足されるならば、次が成立しなければならない。
$$ \overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha -\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha=0 $$
よって、次が成り立ち、これは$f$が積分可能であるという定義であるので、$f$は積分可能である。
$$ \overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha =\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha $$
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系2
(a) ある分割$P$と$\varepsilon >0$に対して$(1)$が成立するならば、$P$の全ての細分についても$(1)$が成立する。
(b) 分割$P=\left\{ x_{0},\cdots,x_{n} \right\}$に対して$(1)$が成立し、それを$s_{i},t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$とする。すると、以下の不等式が成立する。 $$ \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| f(s_{i}) -f(t_{i}) \right| \Delta \alpha_{i} <\varepsilon $$
(c) $f$が積分可能で**(b)**の仮定が成立するならば、以下の式が成立する。 $$ \left| \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha (x) \right| < \varepsilon $$
証明
(a)
$P^{\ast}$を$P$の細分としよう。すると、細分の性質により次が成り立つ。
$$ U(P^{\ast},f,\alpha) -L(P^{\ast},f,\alpha)<U(P,f,\alpha) -L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$
よって、**(a)**が成立する。
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(b)
$x\in[x_{i-1},x_{i}]$に対して次のようにしよう。
$$ M_{i}=\sup f(x) \quad \text{and} \quad m_{i}=\inf f(x) $$
すると、全ての$s_{i},t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$に対して次が成り立つ。
$$ \left| f(s_{i})-f(t_{i}) \right| < M_{i}-m_{i},\quad i=1,\cdots,n $$
よって、上合、下合の定義により次が成立する。
$$ \begin{align*} \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| f(s_{i})-f(t_{i}) \right| \Delta \alpha_{i} &< \sum \limits _{i=1} ^{n}(M_{i}-m_{i})\Delta \alpha_{i} \\ &=U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \\ &< \varepsilon \end{align*} $$
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(c)
先の証明で使用した記法を続けよう。上合、下合の定義により以下の式が成立することは自明だ。
$$ L(P,f,\alpha) \le \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} \le U(P,f,\alpha) $$
また、積分の定義により以下の式も明白に成立する。
$$ L(P,f,\alpha) \le \int _{a} ^{b} f(x)d\alpha (x) \le U(P,f,\alpha) $$
よって、上の二つの式により次が成立する。
$$ \left| \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha (x) \right| < \varepsilon $$
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