📂解析学

リーマン（-スティルチェス）積分可能の必要十分条件

この記事は、リーマン-シュティルチェス積分を基に書かれている。$\alpha=\alpha (x)=x$とすれば、リーマン積分と同じだ。

定理¹

関数$f$が$[a,b]$でリーマン(-シュティルチェス)積分可能であるための必要十分条件は、全ての$\epsilon >0$に対して、$U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$を満たす$[a,b]$の分割$P$が存在することである。

$$\begin{equation} f \in \mathscr{R} (\alpha) \text{ on } [a,b] \\ \iff \forall\epsilon >0, \exists P\text{ s.t. } U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon \end{equation}$$

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積分可能性を示す際に実際に使われる条件である。

証明

以下が与えられているとしよう。

• $f : [a,b] \to \mathbb{R}$が有界である。
• $\alpha : [a,b] \to \mathbb{R}$は単調増加関数である。
• $P$を$[a,b]$の分割としよう。

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• $(\implies)$

  $f$がリーマン(-シュティルチェス)積分可能な関数であると仮定しよう。$\epsilon > 0$が与えられたとする。すると、下積分と積分の定義によって、全ての分割$P$に対して次が成り立つ。

  $$L(P,f,\alpha) \le \underline{\int _{a}^{b}} f d\alpha = \int _{a} ^{b} f d\alpha$$

  よって、次を満たす分割$P_{1}$が存在する。

  $$\begin{equation} \int _{a} ^{b} f d\alpha - L(P_{1},f,\alpha) < \frac{\epsilon}{2} \end{equation}$$

  同様に次も成り立つ。

  $$\int _{a} ^{b} f d\alpha = \overline {\int _{a} ^{b}} f d\alpha \le U(P,f,\alpha)$$

  よって、次を満たす分割$P_{2}$が存在する。

  $$\begin{equation} U(P_2,f,\alpha) - \int _{a}^{b} f d\alpha < \frac{\epsilon}{2} \end{equation}$$

  今、$P^{\ast}$を$P_{1}$と$P_{2}$の共通細分としよう。すると、細分の上(下)合は分割よりも小さく(大きく)、$(2)$、$(3)$によって次が成り立つ。

  $$\begin{align*} U(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P_2,f,\alpha) \\ &\lt {\color{blue}\int _{a} ^{b} f d\alpha} + \frac{\epsilon}{2} \\ &\lt {\color{blue} L(P_{1},f,\alpha) + \frac{\epsilon}{2} } + \frac{\epsilon}{2} \\ &= L(P_{1},f,\alpha) + \epsilon \\ &\le L(P^{\ast},f,\alpha) + \epsilon \end{align*}$$

  よって、$U(P^{\ast},f,\alpha)-L(P^{\ast},f,\alpha) < \epsilon$を満たす分割$P^{\ast}$が存在する。

  ■

• $(\impliedby)$

  全ての$\epsilon >0$に対して、$U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$を満たす$[a,b]$の分割$P$が存在すると仮定しよう。上積分、下積分の定義によって次の式が成り立つ。

  $$L(P,f,\alpha) \le \underline {\int _{a} ^{b}} f d\alpha \le \overline{ \int _{a} ^{b}}f d\alpha \le U(P,f,\alpha)$$

  この時$A<B<C<D$であれば$C-B<D-A$であるので、仮定と上の式を利用して次のような式を得る。

  $$0 \le \overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha -\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha < \epsilon$$

  全ての正数$\epsilon$に対してこの式が満足されるならば、次が成立しなければならない。

  $$\overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha -\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha=0$$

  よって、次が成り立ち、これは$f$が積分可能であるという定義であるので、$f$は積分可能である。

  $$\overline {\int _{a}^{b}} f d\alpha =\underline{\int _{a} ^{b}} f d\alpha$$

  ■

系²

• (a) ある分割$P$と$\varepsilon >0$に対して$(1)$が成立するならば、$P$の全ての細分についても$(1)$が成立する。

• (b) 分割$P=\left\{ x_{0},\cdots,x_{n} \right\}$に対して$(1)$が成立し、それを$s_{i},t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$とする。すると、以下の不等式が成立する。 $$\sum \limits _{i=1} ^{n} \left| f(s_{i}) -f(t_{i}) \right| \Delta \alpha_{i} <\varepsilon$$

• (c) $f$が積分可能で**(b)**の仮定が成立するならば、以下の式が成立する。 $$\left| \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha (x) \right| < \varepsilon$$

証明

(a)

$P^{\ast}$を$P$の細分としよう。すると、細分の性質により次が成り立つ。

$$U(P^{\ast},f,\alpha) -L(P^{\ast},f,\alpha)<U(P,f,\alpha) -L(P,f,\alpha) <\varepsilon$$

よって、**(a)**が成立する。

■

(b)

$x\in[x_{i-1},x_{i}]$に対して次のようにしよう。

$$M_{i}=\sup f(x) \quad \text{and} \quad m_{i}=\inf f(x)$$

すると、全ての$s_{i},t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$に対して次が成り立つ。

$$\left| f(s_{i})-f(t_{i}) \right| < M_{i}-m_{i},\quad i=1,\cdots,n$$

よって、上合、下合の定義により次が成立する。

$$\begin{align*} \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| f(s_{i})-f(t_{i}) \right| \Delta \alpha_{i} &< \sum \limits _{i=1} ^{n}(M_{i}-m_{i})\Delta \alpha_{i} \\ &=U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \\ &< \varepsilon \end{align*}$$

■

(c)

先の証明で使用した記法を続けよう。上合、下合の定義により以下の式が成立することは自明だ。

$$L(P,f,\alpha) \le \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} \le U(P,f,\alpha)$$

また、積分の定義により以下の式も明白に成立する。

$$L(P,f,\alpha) \le \int _{a} ^{b} f(x)d\alpha (x) \le U(P,f,\alpha)$$

よって、上の二つの式により次が成立する。

$$\left| \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha (x) \right| < \varepsilon$$

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