📂解析学

リーマン・スティルチェス積分

概要

リーマン・スティルチェス積分は、リーマン積分を一般化したもので、簡単にスティルチェス積分とも呼ばれる。リーマン積分はリーマン・スティルチェス積分の中で$\alpha (x)=x$の特別な場合に該当する。

リーマン・スティルチェス積分を定義するプロセスは、リーマン積分を定義するプロセスと同じなので、表記と構築に関する具体的な説明は省略する。

定義

$\alpha : [a,b] \to \mathbb{R}$を単調増加関数とし、$\Delta \alpha_{i}=\alpha (x_{i})-\alpha (x_{i-1})$とする。すると$\alpha$が単調増加関数であるため$\Delta \alpha_{i} \ge 0$が成り立つ。

有界な関数$f : [a,b] \to \mathbb{R}$と$[a,b]$の分割$P$に対して$U, L$を以下のように定義する。

$$\begin{align} U(P,f,\alpha) &:= \sum \limits _{i=1} ^n M_{i} \Delta \alpha_{i} \\ L(P,f,\alpha) &:= \sum \limits_{i=1} ^n m_{i} \Delta \alpha_{i} \end{align}$$

$(1), (2)$を**$[a,b]$での$\alpha$に対する$f$のリーマン・スティルチェス上積分と下積分**^{upper and lower Riemann-Stieltjes sum}とする。

$(1), (2)$に区間$[a,b]$の全ての任意の分割$P$に対する$\inf, \sup$を取ったものをそれぞれ**$[a,b]$での$\alpha$に対する$f$のリーマン・スティルチェス上積分と下積分**^{upper and lower Riemann-Stieltjes integral}とする。

$$\begin{align*} \overline {\int _{a} ^b} f d\alpha &:= \inf\limits_{P} U(P,f,\alpha) \\ \underline {\int _{a} ^b} f d\alpha &:= \sup\limits_{P} L(P,f,\alpha) \end{align*}$$

上積分と下積分が等しい場合、これを**$[a,b]$での$\alpha$に対する$f$のリーマン・スティルチェス積分**^{Riemann-Stieltjes integral}と呼び、以下のように表記する。

$$\int _{a} ^b f d\alpha = \int _{a}^b f(x) d\alpha (x) = \overline {\int _{a} ^b} f d\alpha = \underline {\int _{a} ^b} f d\alpha$$

$f$のスティルチェス積分が存在する場合、$f$は$[a,b]$で$\alpha$に対してリーマン・スティルチェス積分可能^{Riemann-Stieltjes integrable}であり、以下のように表記する。

$$f \in \mathscr{R}(\alpha) = \left\{ f : f \text{ is Riemann-Stieltjes integrable} \right\}$$