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コセット判定法 📂整数論

コセット判定法

概要

カーマイケル数であるかを判断する方法として、必要十分条件である点がまた役立つ定理だ。

定理 1

奇数の合成数をnnとする。

nnは、全ての素数ppに対してp2np^2 \nmid nであり、かつ(p1)(n1)(p-1) \mid (n-1)を満たすカーマイケル数    \iffpnp \mid nである。

証明

カーマイケル数の定義自然数nnが全ての1an1 \le a \le nに対してana(modn)a^{n} \equiv a \pmod{n}を満たす場合、カーマイケル数という。


(    )( \implies )

カーマイケル数は22を除く異なる素数p1,,pmp_{1} , \cdots , p_{m}に対してn=p1pmn = p_{1} \cdots p_{m}と表せ、従ってpi2np_{i}^2 \nmid nを満たさなければならない。

nnはカーマイケル数であるためan11(modn)a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}が成り立ち、あるkkに対して an1=nk+1=pi(npik)+1 a^{n-1} = n \cdot k + 1 = p_{i} \cdot \left( {{n} \over {p_{i}}} k \right) + 1 であるためan11(modpi)a^{n-1} \equiv 1 \pmod{p_{i}}である。

位数の性質素数ppに対してgcd(a,p)=1\gcd (a,p)=1が成り立ち、an1(modp)a^{n} \equiv 1 \pmod{p}の場合ordp(a)n\text{ord}_{p} (a) \mid nである。

位数の性質によってordpi(a)\text{ord}_{p_{i} } (a) (n1)(n-1)を割り、原始根定理によって少なくとも11個の原始根を持つため、あるaia_{i}に対して ordpi(ai)=pi1 \text{ord}_{p_{i} } (a_{i}) = p_{i} - 1 である。従って、全てのp1,,pmp_{1} , \cdots , p_{m}に対して(pi1)(n1)(p_{i}-1) \mid (n-1)でなければならない。


(    )( \impliedby )

n:=p1pmn := p_{1} \cdots p_{m}とする。

nnを割る全ての素数p1,,pmp_{1} , \cdots , p_{m}に対してp2np^2 \nmid nであるため、p1,,pmp_{1} , \cdots , p_{m}は異なる。

(p1)(n1)(p-1) \mid (n-1)であるため、ある整数kik_{i}に対して (n1)=(pi1)ki (n-1 ) = ( p_{i} - 1) k_{i} 今、1an1 \le a \le nとしてpip_{i}を割る場合と割らない場合を考える。

  • ケース1. piap_{i} \mid a
    明らかにan0a(modpi)a^{n} \equiv 0 \equiv a \pmod{p_{i}}が成立する。
  • ケース2. piap_{i} \nmid a
    フェルマーの小定理によると an=a(pi1)ki+1=a(pi1)kia1kia(modpi)a(modpi) \begin{align*} a^{n} =& a^{ ( p_{i} - 1) k_{i} +1 } \\ =& a^{ ( p_{i} - 1) k_{i} } \cdot a \\ \equiv& 1^{k_{i}} \cdot a \pmod{p_{i}} \\ \equiv& a \pmod{p_{i}} \end{align*}

従って、どの場合でも (ana)0(modpi) ( a^{n} - a ) \equiv 0 \pmod{ p_{i} } となり、これはすなわち(ana)( a^{n} - a )p1,,pmp_{1}, \cdots , p_{m}で割り切れるということである。言い換えれば、(ana)( a^{n} - a )n=p1pmn= p_{1} \cdots p_{m}で割り切れ、要約すると次のようになる。 (ana)0(modn) ( a^{n} - a ) \equiv 0 \pmod{ n }


  1. Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition): p135. ↩︎