コセット判定法
📂整数論コセット判定法
概要
カーマイケル数であるかを判断する方法として、必要十分条件である点がまた役立つ定理だ。
定理
奇数の合成数をnとする。
nは、全ての素数pに対してp2∤nであり、かつ(p−1)∣(n−1)を満たすカーマイケル数⟺p∣nである。
証明
カーマイケル数の定義:自然数nが全ての1≤a≤nに対してan≡a(modn)を満たす場合、カーマイケル数という。
(⟹)
カーマイケル数は2を除く異なる素数p1,⋯,pmに対してn=p1⋯pmと表せ、従ってpi2∤nを満たさなければならない。
nはカーマイケル数であるためan−1≡1(modn)が成り立ち、あるkに対して
an−1=n⋅k+1=pi⋅(pink)+1
であるためan−1≡1(modpi)である。
位数の性質:素数pに対してgcd(a,p)=1が成り立ち、an≡1(modp)の場合ordp(a)∣nである。
位数の性質によってordpi(a)は(n−1)を割り、原始根定理によって少なくとも1個の原始根を持つため、あるaiに対して
ordpi(ai)=pi−1
である。従って、全てのp1,⋯,pmに対して(pi−1)∣(n−1)でなければならない。
(⟸)
n:=p1⋯pmとする。
nを割る全ての素数p1,⋯,pmに対してp2∤nであるため、p1,⋯,pmは異なる。
(p−1)∣(n−1)であるため、ある整数kiに対して
(n−1)=(pi−1)ki
今、1≤a≤nとしてpiを割る場合と割らない場合を考える。
- ケース1. pi∣a
明らかにan≡0≡a(modpi)が成立する。 - ケース2. pi∤a
フェルマーの小定理によると
an==≡≡a(pi−1)ki+1a(pi−1)ki⋅a1ki⋅a(modpi)a(modpi)
従って、どの場合でも
(an−a)≡0(modpi)
となり、これはすなわち(an−a)がp1,⋯,pmで割り切れるということである。言い換えれば、(an−a)はn=p1⋯pmで割り切れ、要約すると次のようになる。
(an−a)≡0(modn)
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