📂抽象代数

極大イデアル

定義 ¹

環 $R$ の イデアル 中 $R$ 以外のどんなイデアル $N \ne R$ にも含まれないイデアル $M \ne R$ を $R$ の 極大イデアル^{maximal Ideal}という。また、 $M \subsetneq R$ が極大イデアルであることは次のようになる。 $$ \nexists N : M \subsetneq N \subsetneq R $$

説明

代数学で言う「マキシマル」は 集合論でのマキシマル とほぼ同じである。

当然、定義だけでは一意性を保証することはできない。例えば、整数環 $\mathbb{Z}$ に対して $2 \mathbb{Z}$, $3 \mathbb{Z}$ はどちらも $\mathbb{Z}$ 以外の超イデアル^superidealが存在しないため、 $\mathbb{Z}$ の極大 イデアル となる。同様に任意の 素数 $p$ に対して $p \mathbb{Z}$ はすべて $\mathbb{Z}$ の極大 イデアル となる。

一方、極大イデアルは体^fieldと関連して次の性質を持つ。これは 素イデアルと整域の関係 と類似している。

定理

可換環 $R$ が 単位元 $1_{R}$ を持つとする。

• $M$ は $R$ の極大イデアル $\iff$ $R / M$ は 体

証明

$( \implies )$

$R / M$ は単位元 $( 1_{R} + M )$ を持つ可換環である。 $R$ の単位元ではない $a \notin M$ に対して $( a + M ) \in R / M$ とすると、すべての $r \in R$ に対して $a r \in R$ であり、 $M$ が $R$ の極大イデアルであるので $$ R = M + a R $$ である。つまり $$ 1_{R} = m + ar $$ を満たす $m \in M$, $r \in R$ が存在することになり、これは前述したように、 $R / M$ が $( 1_{R} + M )$ を持つので $$ 1_{R} + M = ar + M $$ のように表すことができる。まとめると $$ 1_{R} + M = (a + M)(r + M) $$ であるため、 $M$ で単位元ではないすべての $(a + M)$ に対して逆元 $(a + M)^{-1} = (r + M)$ が存在する。したがって $R / M$ は体となる。

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$( \impliedby )$

$M$ が極大でないようにする、すなわち $M \subsetneq N \subsetneq R$ を満たすイデアル $N \triangleleft R$ が存在すると仮定する。

そうすると $M$ には属さないが、 $N$ には属するある元 $n \in N$ も存在するだろう。 $R / M$ を体としたので $$ (n + M) (s + M ) = ns + M = 1_{R} + M $$ を満たす $s \in R$ が存在するはずである。さて、 $n ' := ( 1 - ns ) \in M \subsetneq N$ というと $$ 1_{R} = ( n' + ns ) \in N $$ である。しかし イデアル $N$ は単位元 $1_{R}$ を持つので $N = R$ 、これは仮定に矛盾する。

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