📂微分方程式

F(ks)のラプラス逆変換

式¹

関数 $f(t)$のラプラス変換 $\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = \displaystyle \int _{0} ^\infty e^{-st}f(t)dt = F(s)$が $s>a \ge 0$であるとしよう。それならば、正の数 $k> 0$に対して、$F(ks)$のラプラス逆変換は以下のようになる。

$$\mathcal{L^{-1}} \left\{ F(ks) \right\} =\dfrac{1}{k}f\left(\frac{t}{k}\right),\quad s>\frac{a}{k}$$

導出

1

$f(ct)$のラプラス変換

$$\mathcal{L} \left\{ f(ct) \right\} =\dfrac{1}{c}F\left(\dfrac{s}{c}\right), \quad s>ca$$

上記の式で $c$の代わりに$\dfrac{1}{k}$を代入すると

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f\left(\frac{t}{k}\right) \right\} &= kF(ks) \\ \implies F(ks) &= \dfrac{1}{k} \mathcal{L} \left\{ f\left(\frac{t}{k}\right) \right\} =\mathcal{L} \left\{\dfrac{1}{k} f\left(\frac{t}{k}\right) \right\} \end{align*}$$

だから

$$\mathcal{L^{-1}} \left\{ F(ks) \right\} =\dfrac{1}{k}f\left(\frac{t}{k}\right)$$

$c$の時の条件が $s>ca$だったので、条件は自然と$s>\dfrac{a}{k}$に変わる。

■

2

ラプラス変換の定義により、

$$\mathcal{L} \left\{ \frac{1}{k} f\left( \frac{t}{k} \right) \right\} =\dfrac{1}{k}\int _{0} ^\infty e^{-st}f \left( \frac{t}{k} \right) dt$$

ここで$\dfrac{t}{k}=\tau$と置き換える。すると$st=sk\tau$であり、$dt=kd\tau$なので

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \frac{1}{k} f\left( \frac{t}{k} \right) \right\} &=\int _{0} ^\infty e^{-sk\tau}f \left(\tau \right) d\tau \\ &= F(ks) \end{align*}$$

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参照

• ラプラス変換表