剰余類の性質とその証明 📂抽象代数

剰余類の性質とその証明

定理

$H$を$G$の部分群だとしよう。すると、群$G$の元$a$に対して、集合$aH= \left\{ ah | h\in H \right\}$を左剰余類といい、$Ha = \left\{ ha | h\in H \right\}$を右剰余類という。

$H < G,\enspace a,b \in G,\enspace h \in H$とする。すると、以下の性質を満たす。

$H$は部分群なので、恒等元を元として持つ。$aH$は$a$と$H$の元を演算して得られる値を元としているから$a=ae \in aH$であり、$a\in aH$である。

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$(\Longrightarrow)$
$aH=H$と仮定する。そうすると、性質1によって$a\in aH=H$である。
$(\Longleftarrow)$
$a\in H$と仮定する。$H$は群なので、演算に閉じている。だから、$ah\in H$であり、$aH$の任意の元が$H$に入るから、$aH \subset H$である。同じ理由で$a^{-1}h \in H$から
$$ h=eh=(aa^{-1})h=a(a^{-1}h) \in aH $$
となり、$H$の任意の元が$aH$に入るから、$H \subset aH$である。包含関係が両方向に成り立つから、$aH=H$である。

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$(\Longrightarrow)$
$aH=bH$と仮定する。性質1によって$a\in aH$であり、仮定によって$a \in bH$である。
$(\Longleftarrow)$
$a \in bH$と仮定する。すると、$a=bh$と表せるから、次のように得る。
$$ aH=(bh)H=b(hH)=bH $$

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$c \in aH \cap bH$を満たす$c$が存在するとする。すると、性質3によって$cH=aH$であり、$cH=bH$から$aH=bH$である。逆に、$c \in aH \cap bH$を満たす$c$が存在しないとするならば、$aH \cap bH = \varnothing$である。

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$(\Longrightarrow)$
$aH=bH$と仮定する。すると、性質3によって$b \in aH$であり、$b=ah$と表せるから、$a^{-1}b=a^{-1}(ah)=h \in H$である。
$(\Longleftarrow)$
$a^{-1}b \in H$と仮定する。すると、$a^{-1}b=h$であり、$b=ah$である。$b = ah \in aH$であり、性質3によって$aH=bH$である。

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関数$f : aH \rightarrow bH$を考えよう。$ah$を$bh$に対応させれば、関数$f$は全単射となる。だから、$|aH| = |bH|$である。

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$(\Longrightarrow)$
$aH=Ha$と仮定して、$aH$を再度$H^{\prime}$とする。すると、$aH=Ha=H^{\prime}$は明らかで、両辺に$aH$と$Ha$をそれぞれ代入すると、
$$ (aH)a^{-1}=(Ha)a^{-1}=H(aa^{-1})=H $$
から、$aHa^{-1}=H$である。
$(\Longleftarrow)$
$H=aHa^{-1}$と仮定して、同じ方法で$Ha=aHa^{-1}a=aH$を得られる。

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$(\Longrightarrow)$
$aH$が$G$の部分群だと仮定すると、$e \in aH$である。しかし、$e \in H$から$aH \cap eH \ne \varnothing$である。性質4によって、$aH=eH=H$を満たす。性質2によって、$a \in H$である。
$(\Longleftarrow)$
$a \in H$と仮定する。性質2によって、$aH=H$である。$H$は$G$の部分群なので、$aH$も$G$の部分群である。

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