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定積比熱及び等圧比熱 📂熱物理学

定積比熱及び等圧比熱

方程式

モル数が11の理想気体の系において、定容比熱CVC_{V}と定圧比熱CpC_{p}に関する次の式が成り立つ。

Cp=CV+R=52R C_{p} = C_{V} + R = {{5} \over {2}} R

説明

定積過程か定圧過程かによって比熱が異なるだけでなく、数学的にも非常にうまく合う関係がある。特にγ:=CpCV\gamma := \dfrac{C_{p}}{C_{V}}そのものは物理的に大きな意味を持たないかもしれないが、数学的に色々な場所で重要に使われる。

証明

  • パート1. CV=∂U∂TC_{V} = \dfrac{\partial U}{\partial T}であることを示す

    熱力学の第1法則

    dU=δQ+δW d U = \delta Q + \delta W

    熱力学の第1法則によると、dU(T,V)dU(T,V)は完全微分であり、次が成り立つ。

    dU=∂U∂TdT+∂U∂VdV \begin{equation} dU = \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV \label{eq1} \end{equation}

    同様に、熱力学の第1法則からδW=−pdV\delta W = - p d Vが成り立つので、次を得る。

    dU=δQ+δW=δQ−pdV  ⟹  δQ=dU+pdV d U = \delta Q + \delta W = \delta Q - p dV \\ \implies \delta Q = d U + p d V

    (eq1)\eqref{eq1}を上記の式に代入すると、次を得る。

    δQ=dU+pdV=(∂U∂TdT+∂U∂VdV)+pdV=∂U∂TdT+(∂U∂V+p)dV \begin{align*} \delta Q =& d U + p d V \\ =& \left( \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV \right) + p d V \\ =& \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) dV \end{align*}

    両辺をdTdTで割ると、以下のようになる。

    δQdT=∂U∂T+(∂U∂V+p)dVdT \begin{equation} \dfrac{\delta Q}{dT} = \dfrac{\partial U}{\partial T} + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) \dfrac{dV}{dT} \label{eq2} \end{equation}

    この時、体積が一定の場合dVdT=0\displaystyle {{dV} \over {dT} } = 0なので、次を得る。

    CV=∂Q∂T=δQdT=∂U∂T \begin{equation} C_{V} = {{\partial Q} \over {\partial T}} = \dfrac{\delta Q}{dT} = \dfrac{\partial U}{\partial T} \label{eq3} \end{equation}

  • パート2. CpC_{p}を求める

    (eq2)\eqref{eq2}に(eq3)\eqref{eq3}を代入すると、以下の式を得る。

    Cp=∂Q∂T=∂U∂T+(∂U∂V+p)dVdT=CV+(∂U∂V+p)dVdT C_{p} = {{\partial Q} \over {\partial T}} = \dfrac{\partial U}{\partial T} + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) \dfrac{dV}{dT} = C_{V} + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) \dfrac{dV}{dT}

  • パート3. 内部エネルギーUUについて展開する

    気体分子の平均運動エネルギー

    <EK>=32kBTr \left< E_{K} \right> = {{3} \over {2}} k_{B} \text{Tr}

    内部エネルギーUUは、平均エネルギーに分子数NNを掛けることによって得られる。また、NkB=nRNk_{B} = nRが成り立つので、以下のようになる。

    U=32NkBT=32nRT U = \dfrac{3}{2} N k_{B} T = \dfrac{3}{2} nRT

    しかしながら、11モルだけを考えているので、U=32RTU = \dfrac{3}{2}RTである。したがって、次を得る。

    ∂U∂T=CV=32R∂U∂V=0 \begin{align*} \dfrac{\partial U}{\partial T} =& C_{V} = {{3} \over {2}} R \\ \dfrac{\partial U}{\partial V} =& 0 \end{align*}

    一方、理想気体の方程式でpV=RT  ⟺  V=RTppV = RT \iff V = \dfrac{RT}{p}が成り立つので、次を得る。

    ∂V∂T=Rp \dfrac{\partial V}{\partial T} = \dfrac{R}{p}

    これらの結果を(eq3)\eqref{eq3}に代入すると、次を得る。

    Cp=CV+(∂U∂V+p)dVdT=CV+(0+p)Rp=CV+R=52R C_{p} = C_{V} + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} +p \right) \dfrac{dV}{dT} = C_{V} + ( 0 + p ) {{R} \over {p}} = C_{V} + R = { {5} \over {2}} R

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