バーガース方程式に対するリーマン問題の解
説明
$$ \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = \begin{cases} a & ,x<0 \\ b & ,x>0 \end{cases} & , t=0 \end{cases} $$
リーマンの問題とは、初期値が与えられたバーガース方程式の中で、解を階段関数step functionとして持つ場合を指す。この時、$a \ne b$であれば、解の関数の値が特定の区間で複数存在したり、全く存在しなかったりする。したがって、等価則を適用するか、平滑化smoothingされた解を求める。
このようにして求められた解は、ランキン＝ユーゴニオ条件とエントロピー条件を満たす。
解決
ケース 1. $a>b$
波は上記のように破裂する。
したがって、等価則を適用して解
$$ u(t,x) = \begin{cases} a &, x < {{a+b} \over {2}} t \\ b &, x > {{a+b} \over {2}} t \end{cases} $$
を得る。
ケース 2. $b>a$
波は、上記のように、存在しない区間で平滑化して関数の値を与える必要がある。
したがって、解
$$ u(t,x) = \begin{cases} a &, x < a t \\ x/t & , at \le x \le bt \\ b &, x \ge b t \end{cases} $$
を得る。