📂偏微分方程式

バーガース方程式に対するリーマン問題の解

説明

$$\begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = \begin{cases} a & ,x<0 \\ b & ,x>0 \end{cases} & , t=0 \end{cases}$$

リーマンの問題とは、初期値が与えられたバーガース方程式の中で、解を階段関数^{step function}として持つ場合を指す。この時、$a \ne b$であれば、解の関数の値が特定の区間で複数存在したり、全く存在しなかったりする。したがって、等価則を適用するか、平滑化^smoothingされた解を求める。

このようにして求められた解は、ランキン＝ユーゴニオ条件とエントロピー条件を満たす。

解決

• ケース 1. $a>b$

  

  波は上記のように破裂する。

  したがって、等価則を適用して解

  $$u(t,x) = \begin{cases} a &, x < {{a+b} \over {2}} t \\ b &, x > {{a+b} \over {2}} t \end{cases}$$

  を得る。

• ケース 2. $b>a$

  

  波は、上記のように、存在しない区間で平滑化して関数の値を与える必要がある。

  したがって、解

  $$u(t,x) = \begin{cases} a &, x < a t \\ x/t & , at \le x \le bt \\ b &, x \ge b t \end{cases}$$

  を得る。