定数係数の2階線形同次微分方程式と特性方程式
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定理
定数係数の2次線形同次微分方程式ay′′+by′+cy=0の一般解は、以下の通りである。
y(x)=Aer1x+Ber2x
この時、r1,2=2a−b±b2−4ac
系
ay′′+cy=0の解は、以下の通りである。
y(x)=Aeiacx+Be−iacx=Ccos(acx)+Dsin(acx)
解法
adx2d2y+bdxdy+cy=0
まず、微分演算子Dを、以下のように定義しよう。
D:=dxdDf=D(f)=dxdf
すると、DはD(ay1+y2)=adxdy1+dxdy2=aDy1+Dy2を満たすため、線形演算子である。Dを利用して式(eq1)を表すと、以下のようになる。
⟹aD2y+bDy+cy(aD2+bD+c)y=0=0
この時、Dy=ryを満たす定数rがあるとすると、上の式から以下の式を得る。
(aD2+bD+c)y=(ar2+br+c)y=0
私たちはy=0を満たす解を探しているため、以下の条件を得る。
aD2+bD+c=ar2+br+c=0
この2次方程式を特性方程式と呼ぶ。
r1r2=2a−b+b2−4ac=2a−b−b2−4ac
r1,r2が互いに異なる二つの実数だとしよう。すると、上の式から、以下の式を得る。
(aD2+bD+c)y=0⟹ a(D−r1)(D−r2)y=0
ケース1. (D−r1)y=0
dxdy=r1yであり、変数分離法を通じてyを求めると、
y1(x)=Aer1t
ケース2. (D−r2)y=0
同様にyを求めると、
y2(x)=Ber2t
y1とy2が与えられた微分方程式の解ならば、y1+y2も解であるため、与えられた微分方程式の一般解は、
y(x)=y1+y2=Aer1t+Ber2t
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