📂微分方程式

定数係数の2階線形同次微分方程式と特性方程式

定理¹

定数係数の2次線形同次微分方程式$a y^{\prime \prime} + by^\prime +cy=0$の一般解は、以下の通りである。

$$ y(x)=A e^{r_{1} x}+Be^{r_2 x} $$

この時、$r_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

系

$a y^{\prime \prime} + cy = 0$の解は、以下の通りである。

$$ y(x) = A e^{i\sqrt{\frac{c}{a}} x}+Be^{-i\sqrt{\frac{c}{a}} x} = C\cos{\textstyle (\sqrt{\frac{c}{a}}x)} + D\sin{\textstyle (\sqrt{\frac{c}{a}}x)} $$

解法

$$ \begin{equation} a\dfrac{d^2}{dx^2}y+b\dfrac{d}{dx}y+cy = 0 \label{eq1} \end{equation} $$

まず、微分演算子$D$を、以下のように定義しよう。

$$ D:=\dfrac{d}{dx} \\ Df = D(f) = \dfrac{df}{dx} $$

すると、$D$は$D(ay_{1}+y_{2}) = a\dfrac{dy_{1}}{dx} + \dfrac{dy_{2}}{dx} = aDy_{1}+Dy_{2}$を満たすため、線形演算子である。$D$を利用して式$\eqref{eq1}$を表すと、以下のようになる。

$$ \begin{align} &&aD^2y+bDy+cy&=0 \\ \implies&& (aD^2+bD+c)y&=0 \end{align} $$

この時、$Dy=ry$を満たす定数$r$があるとすると、上の式から以下の式を得る。

$$ (aD^2+bD+c) y = (ar^2+br+c) y = 0 $$

私たちは$y \ne 0$を満たす解を探しているため、以下の条件を得る。

$$ aD^{2} + bD + c = ar^{2}+br+c = 0 $$

この2次方程式を特性方程式と呼ぶ。

$$ \begin{align*} r_{1} &= \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \\ r_2 &=\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \end{align*} $$

$r_{1}, r_{2}$が互いに異なる二つの実数だとしよう。すると、上の式から、以下の式を得る。

$$ (aD^2 + bD+c)y=0 \implies \ a(D-r_{1})(D-r_2)y=0 $$

• ケース1. $(D-r_{1})y=0$

  $\dfrac{dy}{dx}=r_{1}y$であり、変数分離法を通じて$y$を求めると、

  $$ y_{1}(x)=Ae^{r_{1}t} $$

• ケース2. $(D-r_2)y=0$

  同様に$y$を求めると、

  $$ y_{2}(x)=Be^{r_2t} $$

$y_{1}$と$y_{2}$が与えられた微分方程式の解ならば、$y_{1}+y_{2}$も解であるため、与えられた微分方程式の一般解は、

$$ y(x)=y_{1}+y_{2}=Ae^{r_{1}t} + Be^{r_2t} $$

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