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完全弾性衝突と運動エネルギーの保存 📂物理学

完全弾性衝突と運動エネルギーの保存

定理

反発係数が ee が 11 のとき、完全弾性衝突という。完全弾性衝突には重要な特徴が二つある。

(a) 衝突前後の各物体の運動エネルギー合計が保存される。

(b) 二つの物体の質量が同じなら、衝突後の速度が互いに交換される。

証明

(a)

運動量保存の法則により、

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_{1}v_{1}+m_2v_2 = m_{1}{v_{1}}^{\prime}+m_2{v_2}^{\prime}

  ⟹  m1v1−m1v1′=m2v2′−m2v2\implies m_{1}v_{1} - m_{1}{v_{1}}^{\prime} = m_2{v_2}^{\prime} - m_2v_2

  ⟹  m1(v1−v1′)=m2(v2′−v2)\begin{equation}\implies m_{1}(v_{1} - {v_{1}}^{\prime}) = m_2 ( {v_2}^{\prime}-v_2)\end{equation}

完全弾性衝突の場合、反発係数は e=1e=1 なので、

e=v2′−v1′v1−v2=1e= \dfrac{ {v_2}^{\prime} - {v_{1}}^{\prime} }{ v_{1} - v_2 }=1

  ⟹  v2′−v1′=v1−v2 \implies {v_2}^{\prime} - {v_{1}}^{\prime} = v_{1} - v_2

  ⟹  v1+v1′=v2+v2′\begin{equation} \implies v_{1} + {v_{1}}^{\prime} = v_2 + {v_2}^{\prime}\end{equation}

左辺に右辺に同じものをかけても、式は成り立つ。したがって、(1)(1)の左辺、右辺に(2)(2)の左辺、右辺をそれぞれかけると、

m1(v1−v1′)(v1+v1′)=m2(v2′−v2)(v2′−v2)m_{1}(v_{1} - {v_{1}}^{\prime}) (v_{1} + {v_{1}}^{\prime}) = m_2 ({v_2}^{\prime} - v_2) ( {v_2}^{\prime} - v_2)

  ⟹  m1(v12−v1′2)=m2(v2′2−v22)\implies m_{1}({v_{1}}^2 - {{v_{1}}^{\prime}}^2) = m_2 ( {{v_2}^{\prime}}^2 - {v_2}^2)

  ⟹  12m1v12−12m1v1′2=12m2v2′2−12m2v22\implies \dfrac{1}{2}m_{1}{v_{1}}^2 - \dfrac{1}{2}m_{1}{{v_{1}}^{\prime}}^2 = \dfrac{1}{2}m_2{{v_2}^{\prime}}^2 -\dfrac{1}{2}m_2 {v_2}^2

  ⟹  12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2\implies \dfrac{1}{2}m_{1}{v_{1}}^2 + \dfrac{1}{2}m_2 {v_2}^2= \dfrac{1}{2}m_{1}{{v_{1}}^{\prime}}^2 + \dfrac{1}{2}m_2{{v_2}^{\prime}}^2

つまり、衝突前後で各物体の運動エネルギー合計が保存される。

(b)

質量が同じ場合、m1=m2m_{1}=m_2 であるため、(1)(1) は、

v1−v1′=v2′−v2v_{1} - {v_{1}}^{\prime} = {v_2}^{\prime}-v_2

反発係数から出た式は、

v1+v1′=v2+v2′v_{1} + {v_{1}}^{\prime} = v_2 + {v_2}^{\prime}

二つの式を足すと、

2v1=2v2′2v_{1} = 2{v_2}^{\prime}

  ⟹  v1=v2′\implies v_{1}={v_2}^{\prime}

二つの式を引くと、

2v1′=2v22{v_{1}}^{\prime}=2v_2

  ⟹  v1′=v2\implies {v_{1}}^{\prime}=v_2

したがって、二つの物体の衝突前後の速度が交換される。