二項係数の一般化：ベータ関数
定理：ベータ関数で表される二項係数
$0 \le k\le n$が二つの自然数 $k,n$に対して満たされるとき、下記の式が成立する。 $$ \binom{n}{k}={}_{n}C_{k}=C(n,k)=\frac{1}{(n+1)B(n-k+1,k+1)} $$ 二つの自然数 $m,n$に対して下記の式が成立する。 $$ B(m,n)=\left[ \frac{mn}{m+n} \begin{pmatrix} m+n \\ n \end{pmatrix}\right]^{-1} $$
説明
$B(p,q):=\displaystyle \int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$で定義されるベータ関数は、このように二項係数の一般化と見ることもできる。証明は難しくないが、まず補助定理を証明しなければならない。
証明
補助定理 1
$$ B(p,q)=B(p+1,q) +B(p,q+1) $$
補助定理 1 の証明
$$ \begin{align*} B(p+1,q) + B(p,q+1) =& \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1}dt + \int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{p-1}dt \\ =& \int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}\big[t+(1-t) \big]dt \\ =& \int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt \\ =& B(p,q) \end{align*} $$
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補助定理 2
- (a): $B(p+1,q)=\dfrac{p}{p+q}B(p,q)$
- (b): $B(p,q+1)=\dfrac{q}{p+q}B(p,q)$
補助定理 2 の証明
$$ \begin{align*} B(p+1,q) =& \int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q-1}dt \\ =& \left[ -\frac{1}{q}t^{p}(1-t)^{q}\right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{p}{q}t^{p-1}(1-t)^{q}dt \\ =& 0 + \frac{p}{q}\int_{0}^{1} t^{p-1}(1-t)^{q}dt \\ =& \frac{p}{q} B(p,q+1) \end{align*} $$ 二番目の等式で部分積分を使用した。$(a)$の補助定理 1 により、$B(p,q+1)=B(p,q)-B(p+1,q)$ため、上記の式に代入すると $$ B(p+1,q)=\frac{p}{q}B(p,q) -\frac{p}{q}B(p+1,q) \\ \Rightarrow \frac{q+p}{q}B(p+1,q)=\frac{p}{q}B(p,q) \\ \Rightarrow B(p+1,q)=\frac{p}{p+q}B(p,q) $$ $(b)$の補助定理 1 により、$B(p+1,q)=B(p,q)-B(p,q+1)$ため、上記の式に代入すると $$ B(p,q)-B(p,q+1)=\frac{p}{q}B(p,q+1) \\ \Rightarrow B(p,q)=\frac{p+q}{q}B(p,q+1) \\ \Rightarrow B(p,q+1)=\frac{q}{p+q}B(p,q) $$
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本証明
まず、$B(1,1)=1$であることを示そう。定義によりすぐにわかる。 $$ B(1,1)=\int_{0}^{1}t^{0}(1-t)^{0}dt=1-0=1 $$ $m,n \in \mathbb{N}$とする。 補助定理 2の $(a)$を$B(m,n)$に繰り返し適用すると $$ \begin{align*} B(m,n) =& \frac{m-1}{m+n-1}B(m-1,n) \\ =& \frac{m-1}{m+n-1}\cdot \frac{m-2}{m+n-2}B(m-2,n) \\ =& \frac{m-1}{m+n-1} \cdot \frac{ m-2 }{m+n-2}\cdot \cdots \frac{ 1 }{m+n-(m-1) }B(1,n) \\ =& \frac{ (m-1)! }{ (m+n-1)(m+n-2)\cdots(n+1) }B(1,n) \end{align*} $$ 補助定理 2の $(b)$を繰り返し適用すると $$ \begin{align*} B(m,n) =& \frac{ (m-1)! }{ (m+n-1)(m+n-2)\cdots(n+1) }B(1,n) \\ =& \frac{ (m-1)! }{ (m+n-1)(m+n-2)\cdots(n+1) } \frac{ n-1 }{ n }B(1,n-1) \\ =& \frac{ (m-1)! }{ (m+n-1)(m+n-2)\cdots(n+1) } \frac{ n-1 }{ n }\cdot \frac{ n-2 }{ n-1 }B(1,n-2) \\ =& \frac{ (m-1)! }{ (m+n-1)(m+n-2)\cdots(n+1) } \frac{ n-1 }{ n }\cdot \frac{ n-2 }{ n-1 }\cdots \frac{ 1 }{ n+1-(n-1) }B(1,1) \\ =& \frac{ (m-1)!(n-1)! }{ (m+n-1)(m+n-2)\cdots(n+1)n(n-1)\cdots2 } B(1,1) \\ =& \frac{ (m-1)!(n-1)! }{ (m+n-1)! } \\ =& \frac{ m+n }{ mn }\frac{ m!n! }{ (m+n)! } \\ =& \left[ \frac{ mn }{ m+n } \begin{pmatrix} m+n \\ n \end{pmatrix} \right]^{-1} \end{align*} $$ 上記の式の下から三番目の等式に、$m=n-k+1$、$n=k+1$を代入すると $$ B(n-k+1,k+1)=\frac{(n-k)!k!}{ (n+1)! }=\frac{ (n-k)!k! }{(n+1)n! } $$ したがって $$ \frac{ n! }{(n-k)!k! }=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{ 1 }{ (n+1)B(n-k+1,k+1) } $$
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