📂位相幾何学

位相空間における可分性と閉包

定義 ¹

位相空間 $X$ について $A \subset X$ とする。

1. $x \in O \subset A$ を満たす開集合 $O$ が存在する時、$x$ を $A$ の内点^{interior point}という。
2. $A$ の内点の集合 $A^{\circ}$ を $A$ の内部^interiorという。
3. $A$ とその値域の合集 $\overline{A} : = A \cup a '$ を $A$ の閉包^closureという。
4. $x \in \overline{A}$ であり、かつ $x \in \overline{X \setminus A}$ の時、$x$ を $A$ の境界点^{boundary point}という。
5. $\partial A : = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}$ を $A$ の境界^boundaryという。
6. $\overline{A} = X$ の時、$A$ は $X$ で稠密である^denseという。
7. $\left( \overline{A} \right) ^{\circ} = \emptyset$ の時、$A$ は $X$ でどこにも稠密でない^{nowhere dense}という。
8. $X$ が稠密な可算部分集合を持つ時、$X$ は可分である^separableという。

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• $\overline{A}$ と $A^{\circ}$ はそれぞれ $A$ のクロージャー、インテリアだ。

説明

まず、距離空間で定義されていた様々な定義を持ち込んでも全く問題がないことを確認しよう。

典型的な可分空間の例は、$\overline{ \mathbb{Q} } = \mathbb{R}$ だ。

可算部分集合という言葉が難しいなら、まず整数の集合 $\mathbb{Z}$ で実数空間 $\mathbb{R}$ を分割すると考えてみよう。このイメージは想像しやすいが、どんな集合でもその部分集合で分割するのは簡単なので、何の意味もない。逆に、不可算集合で分割すると、扱いづらく、結局意味がない。一方、定義されたように、稠密性と可算性を満たす概念があるなら、あまりにも簡単でも難しくもないとみなせるだろう。その場合、部分集合 $A$ とはいえ、実際には全体集合を支える大きな「骨格」のような感じでなければならない。

骨格の比喩をもう一歩進めてみるなら、ある空間が可分空間であるということは、どんなに $x \in X$ が与えられたとしても、$x$ に収束する数列 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} }$ の存在を保証することと同じだ。例えば、$x \in \mathbb{R}$ が与えられたとすると、$x$ が何であれ、$x$ に収束する有理数の数列 $\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ を見つけることができるということだ。

可分性が重要なのは、それによって、自分が望む元に収束（稠密）する数列（可算）を作ることができるからだ。実用的な側面から見れば、この性質の有用性がさらに際立つ。応用数学では、複雑な関数をよく知られた簡単な関数たちで近似することが非常に重要だ。

たとえば、連続関数の空間 $C[a,b]$ は可分空間であり、それに応じて、どんなに $f$ が与えられても、$f$ に収束する連続関数の数列 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ の存在が保証されるということがわかる。この $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ が具体的に何であるかを明らかにするのは、数値解析などの応用数学の役割だが、存在を明らかにすることは純粋数学の役割だ。

定理

稠密性の判定法

稠密性を判定する方法として、以下の有用な同値条件を必ず覚えておこう。

$A$ が $X$ で稠密であることと、$X$ のすべての開部分集合 $U$ に対して、$U \cap A \ne \emptyset$ が交差することは同値だ。

基本性質: 部分空間の境界

• [1]: $\partial A \subset A \iff A = \overline{A}$
• [2]: $\partial A \subset X \setminus A \iff A = A^{\circ}$
• [3]: $\partial A = \emptyset \iff A = A^{\circ}= \overline{A}$

可算性とは関係ないが、これらの概念を新たに定義しただけに、これらの性質を知っておくことが重要だ。

境界を利用して、空間が開いているか閉じているかを判断できる便利な性質だ。位相数学に慣れるにつれ、空間という空間がますます抽象的になるので、単語だけでも定義を推測し、考えることができることに感謝しよう。