距離空間における位相同型
定義
二つの距離空間 $\left( X, d_{1} \right)$ と $\left( Y, d_{2} \right)$ に対して、全単射 $f : X \to Y$ が存在し、$f$ とその逆関数 $f^{-1}$ が両方とも連続関数ならば、$f$を位相同型写像と呼び、二つの距離空間は位相同型homeomorphicであるという。
説明
距離空間における位相同型の定義は、一見すると空虚に見えるかもしれない。それは、距離空間自体が十分に良い空間であり、二つの距離空間が位相同型であることを示すためには、条件を満たす全単射関数を具体的に示すだけで十分だからだ。学ぶ者の立場からすると、一般的な位相空間への一般化を念頭に置きながら早めに用語に慣れる感じが強い。
性質
$d_{1}$ と $d_{2}$ が $X$ 上で定義された距離だとしよう。もし、すべての $x, y \in X$ に対して、$d_{1} (x,y) \le c d_{2} (x,y)$ と $d_{2}(x,y) \le c ' d_{1} (x,y)$ を満たす $c,c ' >0$ が存在するならば、恒等関数 $1_{X} : \left( X, d_{2} \right) \to \left( X, d_{1} \right)$ は位相同型写像である。
証明
恒等関数 $1_{X}$ は自明に全単射関数であるから、$1_{X}$ と$1_{X}^{-1}$ が連続であることを示せばよい。$\varepsilon > 0$ と $a \in X$ に対して $\displaystyle \delta := {{\varepsilon} \over {c}}$ としよう。そうすると、$d_{2} (x,a) < \delta$ を満たすすべての $x$ に対して、次が成り立つ。
$$ \begin{align*} d_{1}(1_{X} (x), 1_{X} (a)) =& d_{1} (x,a) \\ \le & c d_{2} (x,a) \\ <& c \delta \\ =& \varepsilon \end{align*} $$
したがって、$1_{X}$ は連続関数であり、$1_{X} = 1_{X}^{-1}$ を与えられるので、位相同型写像の条件を満たす。
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この性質は、ノルムの同値性に類似した定理として、少なくとも事実として知っておく価値がある。