📂関数

逆関数 (ぎゃくかんすう)

定義

与えられた全単射関数$f: X \to Y$に対して、$f$の逆関数^{inverse function}は次のように定義される。

$$f^{-1} : Y \to X, \quad f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$$

逆関数が存在する関数を可逆関数^{invertible function}という。

説明

定義により、$f$は$f^{-1}$の逆関数である。

$$f = (f^{-1})^{-1}$$

$f \circ f^{-1}$と$f^{-1} \circ f$は$Y$と$X$上での恒等関数$I_{Y}$、$I_{X}$である。

$$f \circ f^{-1} : Y \to Y, \quad f \circ f^{-1}(y) = y \quad \forall y \in Y$$

$$f^{-1} \circ f : X \to X, \quad f^{-1} \circ f(x) = x \quad \forall x \in X$$