逆関数 (ぎゃくかんすう)
定義
与えられた全単射関数$f: X \to Y$に対して、$f$の逆関数inverse functionは次のように定義される。
$$ f^{-1} : Y \to X, \quad f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y $$
逆関数が存在する関数を可逆関数invertible functionという。
説明
定義により、$f$は$f^{-1}$の逆関数である。
$$ f = (f^{-1})^{-1} $$
$f \circ f^{-1}$と$f^{-1} \circ f$は$Y$と$X$上での恒等関数$I_{Y}$、$I_{X}$である。
$$ f \circ f^{-1} : Y \to Y, \quad f \circ f^{-1}(y) = y \quad \forall y \in Y $$
$$ f^{-1} \circ f : X \to X, \quad f^{-1} \circ f(x) = x \quad \forall x \in X $$